Jak obliczyć wpływ precesji na orbity eliptyczne?

Pierwsze prawo Keplera mówi, że planety (i wszystkie ciała niebieskie krążące wokół innego ciała) poruszają się po orbitach eliptycznych, które mają dobrze znane wzory, które stosunkowo łatwo obliczają elementy orbity i związane z nimi zachowania. Jednak trwająca precesja oznacza, że ​​orbita ciągle się zmienia - a więc planeta tak naprawdę nie podróżuje w elipsie, na której pierwotnie się rozpoczęła! Możesz obliczyć precesję i związane z nią skutki ( to pytanie i odpowiedź są pomocne), ale czy jest jakiś sposób, aby obliczyć, w jaki sposób eliptyczna orbita zostanie „zdeformowana” przez precesję?

Dobrym punktem wyjścia byłoby <wstawić nazwę naukowca z dawnych czasów> planetarne równania ruchu. Na przykład istnieją równania planetarne Lagrange'a (czasem zwane równaniami planetarnymi Lagrange'a-Laplace'a), równania planetarne Gaussa, równania planetarne Delaunaya, równania planetarne Hilla i kilka innych. Wspólnym tematem między tymi różnymi równaniami planetarnymi jest to, że dają pochodne czasowe różnych elementów orbitalnych w funkcji częściowych pochodnych siły zakłócającej / potencjału zakłócającego w odniesieniu do pewnej uogólnionej pozycji.

Ogólnie rzecz biorąc, jedynymi słowami, które mogą opisać wynik tego procesu na początku, jest „gorący bałagan”. Gorący bałagan nie odstraszył tych świetnych, starych umysłów. Poprzez różne założenia upraszczające i uśrednianie długoterminowe opracowali dość proste opisy, na przykład: (apsydalna precesja) i (precesja planarna). Poniżej niektóre z nich można znaleźć w cytowanej pracy Hill'a z 1900 r.$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Chociaż te techniki są stare, te równania planetarne są nadal stosowane. To, że czasami pojawia się „gorący bałagan”, jest teraz w porządku, skoro mamy komputery. Ludzie używają równań planetarnych w połączeniu z technikami integracji geometrycznej, aby uzyskać integratory, które są szybkie, dokładne, stabilne i zachowują moment pędu i energię w długim okresie czasu. (Zwykle nie możesz mieć ich wszystkich. Masz szczęście, jeśli dostaniesz tylko dwa lub trzy.) Kolejną miłą cechą tych równań planetarnych jest to, że pozwalają ci zobaczyć takie cechy, jak rezonanse, które w innym przypadku są zasłonięte przez „ gorący bałagan ”kartezjańskich równań ruchu.

Wybrany materiał referencyjny, posortowany według daty:

Hill (1900), „O rozszerzeniu metody Delaunaya w teorii księżycowej na ogólny problem ruchu planet”, Transactions of the American Mathematical Society , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 i później), „Podstawy astrodynamiki i aplikacji”, różni wydawcy. Poza dziurą, którą dziurkuje w portfelu, nie możesz się pomylić z tą książką.

Efroimsky (2002), „Równania dla elementów keplerowskich: ukryta symetria”, Instytut Matematyki i jego Zastosowania

Efroimsky i Goldreich (2003), „Symetria mierników problemu N-ciała w podejściu Hamiltona – Jacobiego”. Journal of Mathematical Physics , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), Absolwent wykładu na temat systemów planetarnych, Institute of Astronomy, Cambridge.
Wyniki równań planetarnych Lagrange'a przedstawiono na slajdzie 6.

Ketchum i in. (2013), „Mean Resonance Motion in Exoplanet Systems: An Investigation into Nodding Behavior”. The Astrophysical Journal 762.2.

Jedyną prawdziwie konfokalną orbitą eliptyczną jest wiązana próbna cząstka w potencjale centralnym lub, równoważnie, z dwóch mas punktowych (o sferycznie symetrycznych wewnętrznych rozkładach masy) przyciągających się nawzajem grawitacją Newtona (i posiadających ujemną grawitację energia całkowita, tj. związana ze sobą).$-k/r$

Wszystko inne jest nieeliptyczne (niezwiązane orbity są paraboliczne lub hiperboliczne), ale większość odchyleń jest niewielka. Małe odchylenia mogą wynikać z wielu źródeł, w tym z kwadrupoli w rozkładzie masy ciał (w szczególności Słońca), sił niegrawitacyjnych (ciśnienie promieniowania i opór gazu na ziarnach pyłu), efektów nienewtonowskich (GR), perturbacje innych obiektów (wszystkich innych planet). Sam Newton był doskonale świadomy tego ostatniego efektu.

Jeśli odchylenia są małe, tradycyjnym sposobem ich oszacowania jest teoria perturbacji , w której integruje się siłę perturbacji na niezakłóconej (eliptycznej) orbicie. Na przykład, aby uzyskać precesję okołapadową, można zintegrować zmiany z wektorem ekscentryczności. Obrót tego wektora odpowiada precesji okołozębowej. Zobacz moją odpowiedź na to pytanie , na przykład dokładnie to.

David Hammen napisał

Ludzie używają równań planetarnych w połączeniu z technikami integracji geometrycznej ...

Możesz także spróbować (jak to nazywam) prostej symulacji o skończonym kroku, używając praw Newtona do operowania na masach obiektów, pozycjach, prędkościach i przyspieszeniach. Nie jestem pewien, czy mieści się to w tym, co David nazywa „technikami integracji geometrycznej”. Chodzi mi o to, że możesz to zrobić bez uwzględnienia równań planetarnych. Wada = symulator „ścina rogi” za pomocą aproksymacji, co prowadzi do zachowań w modelu, które są artefaktami. Wady te można pokonać, stosując inne techniki. Zaleta = ułatwia projektowanie kodu, pozwala uniknąć podejrzeń, że równania planetarne (i ich założenia) napędzają przedstawienie.

Nie musisz być ekspertem w zakresie metod numerycznych, aby zastosować prostą technikę integracji Leapfrog (opisaną szczegółowo w Feynman Lectures vol. I ) do modelowania precesji newtonowskiej w Układzie Słonecznym w okresach do kilku stuleci. Uruchamiając symulacje w różnych krokach czasowych (np. ) wykreślając wyniki w Excelu, dopasowując krzywą i ekstrapolując do$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$można uzyskać wyniki dla długoterminowej średniej precesji Newtona, które mieszczą się w granicach 1% przyjętych liczb. Kolejną zaletą w porównaniu z metodami analitycznymi, które dają długoterminowe średnie wyniki, jest to, że można badać zachowania w krótszych skalach czasowych. Na przykład, jeśli zobrazujesz kierunek peryhelium w funkcji czasu dla pewnej planety (np. Merkurego), zobaczysz okresowe wahania precesji wynoszące roku, wynikające z ruchu Jowisza wokół Słońca. Dużą frajdą jest (i bardzo łatwe po napisaniu podstawowego kodu) granie w „a co jeśli?” symulacje, zmieniając liczbę i właściwości ciał w układzie, a nawet dodając dodatkowe siły nienewtonowskie. $\approx 11.9$

Cytując Feymnan: -

Może się zdarzyć, że w jednym cyklu obliczeń, w zależności od problemu, możemy mieć 30 multiplikacji lub coś w tym rodzaju, więc jeden cykl zajmie 300 mikrosekund. Oznacza to, że możemy wykonać 3000 cykli obliczeniowych na sekundę. Aby uzyskać dokładność, powiedzmy, jednej części na miliard, potrzebowalibyśmy 4 × 10 ^ 5 cykli odpowiadających jednemu obrotowi planety wokół Słońca. Odpowiada to czasowi obliczenia 130 sekund lub około dwóch minut. Tak więc zajmuje tylko dwie minuty, aby podążać za Jowiszem wokół Słońca, a wszystkie zaburzenia wszystkich planet są poprawne do jednej części na miliard, dzięki tej metodzie!

Ale musisz dokładnie przemyśleć, co możesz wiarygodnie wywnioskować z symulacji - na przykład jeśli twój krok czasowy jest dłuższy niż kilkaset sekund, symulacja wskaże precesję w kierunku przeciwnym do tego, co naprawdę ma miejsce (tj. Wstecz, kiedy to nastąpi powinien być prograde).