Zmiany na orbicie Ziemi

Wspomaganie grawitacyjne takie jak ta jest formą elastycznego zderzenia. Jest tu trochę chrupania liczb (mam nadzieję, że nie ma błędów!), Więc powinieneś zapoznać się z podstawami pędu, energii kinetycznej i jej zachowaniem.

Pytanie: Jeśli Ceres (największa znana asteroida o średnicy prawie 500 km) użył Ziemi do wspomagania grawitacyjnego w celu zwiększenia własnej prędkości, o ile spowolniłoby to Ziemię i o ile większa byłaby jej orbita?

Prędkość orbitalna Ziemi wokół Słońca wynosi . Tak więc przy masie $U = 29.8~\mathrm{km~s}^{-1}$

M. = 5,97 \times 10^{24} k sol,

$M = 5.97\times 10^{24}~\mathrm{kg},$

ma energię kinetyczną wynoszącą

i pęd

K. = 2,65 \times 10^{33} jot

$K = 2.65\times 10^{33}~\mathrm{J}$

P. = 1,78 \times 10^{29} k sol m s^{- 1} .

$P = 1.78\times 10^{29}~\mathrm{kg~m~s^{-1}}.$

Powiedzmy, że Ceres wykonuje grawitacyjną procę, jak na prostym schemacie poniżej. Ceres ma masę . Zbliża się do Ziemi z prędkością , a po procy prędkość końcowa wynosi (do, dla obiektu o małej masie) prędkość . $m = 9.47 \times 10^{20}~\mathrm{kg}$ $v$ $2\times U+v$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Całkowity pęd systemu musi zostać zachowany . Ceres zmienił kierunek i w ten sposób uzyskał znaczną pęd w kierunku w lewo: ten sam pęd, który następnie Ziemia musi stracić. Energia kinetyczna jest również zachowana. Tak, mamy układ równań, gdzie indeksy I i F są początkowe i końcowe momenty i prędkości. M i U to masa i prędkość Ziemi, m i v to Ceres.

M. U_{ja}^{2)} + m v_{ja}^{2)} = M. U_{fa}^{2)} + m v_{fa}^{2)}

$MU_i^2 + mv_i^2 = MU_f^2 + mv_f^2$

co mówi, że suma początkowych energii kinetycznych dwóch obiektów musi być równa sumie końcowej energii kinetycznej. Mamy również zachowanie pędu:

M. U_{ja} + m {\vec{v}}_{ja} = M. U_{fa} + m {\vec{v}}_{fa}

$MU_i + m\vec{v}_i = MU_f + m\vec{v}_f$

Rozwiązaniem tych równań jest rozwiązanie

v_{fa} = \frac{(1 - m / M.) v_{ja} + 2) U_{ja}}{1 - m / M.}

$v_f = \frac{(1-m/M)v_i + 2U_i}{1-m/M}$

$v_i = 30~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f = 89.6~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f \approx 2U+v$

Tak więc ostateczny pęd Ziemi jest

M. U_{fa} = M. U_{ja} - m v_{ja} - m v_{fa} = 1,78 \times 10^{29} k sol m s^{- 1}

$MU_f = MU_i - mv_i - mv_f = 1.78 \times 10^{29}~ \mathrm{kg~m~s^{-1}}$

$mv_i + mv_f = 1.13 \times 10^{23} ~\mathrm{kg~m~s^{-1}}$ $0.019~\mathrm{m~s}^{-1}$

$r=GM_{sun} / v^2$

Ceres jest o wiele rzędów wielkości większy niż jakikolwiek satelita, który moglibyśmy wystrzelić. Tak więc nigdy nie moglibyśmy praktycznie użyć statku kosmicznego, aby znacząco zmienić naszą orbitę, a nawet olbrzymia asteroida prawie brakowało niewielkich konsekwencji. Ale nie powstrzymało to niektórych przed próbowaniem !

Moriarty
źródło

Jestem zdezorientowany twierdzeniem w twojej odpowiedzi, że jeśli Ziemia zwalnia, jej orbita się rozszerza (co, jak zakładam, oznacza, że porusza się dalej od Słońca). Oznacza to, że gdy Ziemia traci energię, odpłynie od Słońca; zamiast popadać w to (co rozumiem fizykę i grawitację Newtona). Najwyraźniej czegoś mi brakuje.

dav1dsm1th

@ dav1dsm1th Jest to manifestacja trzeciego prawa Keplera . Innym sposobem myślenia o tym jest to, że gdy Ziemia porusza się dalej od Słońca, zyskuje grawitacyjną energię potencjalną w zamian za energię kinetyczną.

Moriarty,

Będę musiał trochę poczytać ... Nie mogę zrozumieć, że Ziemia może stracić znaczną część swojej energii kinetycznej (w bardzo mało prawdopodobnym spotkaniu z dużym ciałem) i skończyć odlecieć od Słońca, zamiast spaść w jego kierunku. Dzięki za odpowiedzi.

dav1dsm1th

Jeśli Ceres zacznie odsuwać się od Słońca, a wzmocnienie orbity zmusza go do przesunięcia się w kierunku Słońca, wówczas w celu zachowania pędu prędkość Ziemi od Słońca może wzrosnąć. Ceres otrzymuje impuls do Słońca, Ziemia otrzymuje impuls od Słońca. Ta zmiana prędkości może spowodować większą orbitę. Przypominam, że wydaje mi się, że oś semimajorowa Ziemi się zwiększa, ale także ekscentryczność jej orbity.

barrycarter

Zmiana mimośrodowości orbity zależeć będzie od miejsca zderzenia. Jak stwierdzono w moim przykładzie, założyłem okrągłe orbity, aby ograniczyć zakres odpowiedzi. W rzeczywistości nasza orbita jest mimośrodowa, a zmiany długości osi półpodstawowej i półpodstawowej naszej orbity będą zależeć od tego, jak blisko jesteśmy peryhelium i aphelium. Jeśli Ziemia straci pęd blisko peryhelium, stracimy ekscentryczność. Jeśli stracimy rozpęd blisko aphelium, zyskamy ekscentryczność. Przynajmniej tego nauczył mnie program kosmiczny Kerbal :)

Moriarty,

Zmiany na orbicie Ziemi

Odpowiedzi: