Jak Kepler „odgadł” swoje trzecie prawo na podstawie danych?

21

To niesamowite, że Kepler określił swoje trzy prawa, patrząc na dane, bez kalkulatora i używając tylko długopisu i papieru. Można sobie wyobrazić, w jaki sposób udowodnił, że jego prawa opisują dane po ich domniemaniu, ale nie rozumiem, jak je odgadł.

W szczególności skupię się na trzecim prawie Keplera, które stwierdza, że ​​kwadrat okresu orbity planety jest proporcjonalny do sześcianu pół-dużej osi orbity.

Zakładam, że Kepler pracował tylko z danymi o planetach, a także o własnym księżycu i słońcu. Przyjmuję to założenie, ponieważ nie sądzę, aby Kepler miał dane o innych księżycach, kometach lub asteroidach, których nie zaobserwował jeszcze teleskop. Jeśli to prawda, wiedząc, że Neptun, Uran i Pluton nie zostały jeszcze odkryte, gdy Kepler żył, oznacza to, że Kepler miał mniej niż 9 punktów danych do pracy.

Mój przyjaciel twierdzi, że całkowicie zrozumiałe jest, w jaki sposób Kepler odgadł tę relację (chociaż nie podaje żadnej metody, jak Kepler mógł to zrobić), a także, że obserwacje Keplera „nie są takie trudne”. Jako wyzwanie podałem znajomemu tabelę danych z jedną kolumną oznaczoną , drugą yi 9 współrzędnymi ( x , y ), które pasują do relacji x 4 = y 3 . I powiedział: „proszę znaleźć zależność między X i Y ”, i jak można się spodziewać, nie udało mu się to zrobić.xy(x,y)x4=y3xy

Wyjaśnij mi, jak na świecie Kepler odgadł tę relację przy tak małej liczbie punktów danych. I jeśli moje założenie, że liczba punktów danych, które Kepler miał do dyspozycji, jest niewielkie, jest błędne, to nadal uważam, że dość trudno odgadnąć ten związek bez kalkulatora.

Joshua Benabou
źródło
2
Używał tylko danych o Marsie. Jego szef, Tycho Brahe, powiedział mu, aby raz na zawsze odkrył wsteczny ruch Marsa. I zrobił to fantastycznie. Trzecie prawo pochodzi od jego dopasowania astrologicznego w Harmonices Mundi . Miał dość danych, aby rozwiązać ten problem geometryczny. Więcej danych by mu nie pomogło. W rzeczywistości wybrał tylko podzbiór Marsa, który zaobserwował Tycho Brahe.
LocalFluff,
2
Przesłano na temat fizyki, a następnie migrowano do HSM .
HDE 226868
Kepler miał mnóstwo danych, aby wyprowadzić swoje pierwsze i drugie prawo, z których każde dotyczy jednej planety naraz, ale jego trzecie prawo jest zupełnie innym zwierzęciem. Łączy ze sobą cechy orbitalne różnych planet. Bez względu na to, ile danych zebrał Tycho, było tylko sześć planet (zliczających Ziemię, ale nie liczących Słońca ani Księżyca), a ich właściwości orbitalne nie były obserwowane tak bardzo, jak obliczone (pracochłonnie) przez Keplera. Sześć punktów, każdy z dużym marginesem błędu, wystarcza do wykazania zależności liniowej, ale ledwo.
ganbustein
@LocalFluff: Przeczytałem też, że Kepler w zasadzie używał tylko danych o Marsie. Ale biorąc pod uwagę, że trzecie prawo wyraża związki między okresami orbitalnymi różnych satelitów, jak mógł to zrobić, bez względu na to, ile informacji o samym Marsie miał?
Marc van Leeuwen,
@MarcvanLeeuwen Myślę, że sprowadza się to do jego nowego fizycznego spojrzenia na rzeczy. Że ten sam zestaw praw naturalnych kieruje wszystkimi ruchami. Inni później wykonali żmudne obliczenia, aby potwierdzić to dla wszystkich planet i Księżyca, a Halley dla komety, z pewnością już w XVII wieku. Tylko orbita Merkurego nie pasowała do końca z powodu subtelnych efektów relatywistycznych.
LocalFluff

Odpowiedzi:

24

Trzecie prawo Keplera jest (moim zdaniem) trywialne w porównaniu z jego pierwszym prawem. Jestem pod wrażeniem, że był w stanie wywnioskować, że orbity były elipsami. Aby to osiągnąć, musiał iść w tę iz powrotem, planując kierunek Marsa z Ziemi i kierunek Ziemi z Marsa. Znał długość lat obu planet, więc obserwacje dokonane w odstępie jednego roku Marsa będą się różnić tylko dlatego, że Ziemia się poruszyła.

Ale może nie takie banalne. Opublikował swoje pierwsze dwa prawa w 1609 roku. Trzecie prawo pojawiło się dopiero w dziesięć lat później, w 1619 roku. Po dziesięciu latach pracy nad nim, w końcu można znaleźć nawet najbardziej niejasne relacje.

x4=y33/4

Czas jest odpowiedni. Napier opublikował swoją książkę o logarytmach w 1614 r. Być może Kepler pod wpływem kaprysu zastosował to błyszczące nowe narzędzie matematyczne do swoich starych, skorumpowanych danych.

Główną przeszkodą było to, że w tym czasie istniało tylko sześć znanych planet, więc nie miał wielu punktów danych, a te, które miał, nie były precyzyjne.

Innym problemem Keplera jest to, że żadne z jego praw nie miało dla niego sensu. Pasują do danych, ale nie miał pojęcia, dlaczego. Nie miał praw ruchu Newtona, z których mógłby pracować, nie miał pojęcia o sile, pędzie, momencie pędu, a na pewno nie o grawitacji. O ile wiedział, planety poruszały się tak, jak to robili, ponieważ Bóg tak zarządził, a aniołom powierzono zadanie popychania planet wzdłuż ich orbit. Zewnętrzne planety poruszały się wolniej, ponieważ były popychane przez pomniejsze anioły.

(Feynman czyni komentarz, który rozumiemy teraz o wiele bardziej. Wiemy teraz, że anioły są na zewnątrz i pchają się w stronę Słońca.)

ganbustein
źródło
Chociaż prawie nie jestem badaczem prac Keplera, AFAIK przypisanie Keplerowi wyjaśnień aniołów jest kompletnym wymysłem. Czy masz do tego odniesienie napisane przez Keplera lub bezpośrednio cytowane przez Keplera?
Stan Liou,
1
Kepler faktycznie próbował sprawić, aby magnetyzm (wówczas popularny ze względu na Williama Gilberta) wyjaśnił ruchy planet wokół Słońca. To jest fundament fizyki. Pozostawił anioły w kościele. I używał tylko wybranych danych o Marsie i miał znacznie więcej danych, niż mógł znieść. Big Data swoich czasów. Brak danych wcale nie był jego problemem.
LocalFluff
Rzeczywiście, Caspar p. 67: „Jest to nowa myśl, że na słońcu znajduje się siła, która wytwarza ruchy planety, i która jest o tyle słabsza, im bardziej oddalona jest planeta od źródła siły. Oczywiście, w jego książka mówi o „anima motrix”, poruszającej się duszy, ale już w liście z tego okresu używa słowa „wigor”, „siła”. Ale anima motrix nie jest aniołem ... interesujący jest także ten niemiecki artykuł w Wikipedii na temat anima motrix.
Stan Liou,
@StanLiou Tak, należy pamiętać o kontekście słów. „Dusza” to słowo określające siłę. Tak jak dziś używamy prostych słów dla zjawisk naturalnych i rolnictwa, aby opisać nasze społeczeństwo technologiczne: pole (pszenicy), (sieć rybacka), prąd (rzeczny). Nawet nowe warunki pojawiają się jako „chmura”. Nie mamy na myśli tego dosłownie, ani słowo „dusza” nie zawsze znaczyło dosłownie. Średniowieczny rolnik może być zdezorientowany przez podręcznik na temat elektroniki!
LocalFluff,
@LocalFluff Tak, aby dokonać znanego porównania, pierwotna nazwa energii kinetycznej brzmiała vis viva („siła życia”), termin przyjęty z wcześniejszej tradycji, ale nie odnosi się do dosłownego życia. Sam termin przetrwał również do dziś w mechanice orbit.
Stan Liou,
29

Relacja Keplera o tym, jak powstało trzecie prawo, jest następująca (Caspar str. 286; moje podkreślenie):

8 marca tego roku 1618, jeśli potrzebne są dokładne informacje o czasie, pojawiły się w mojej głowie. Ale miałem pecha, kiedy wstawiłem to do obliczeń i odrzuciłem jako fałszywe. W końcu, 15 maja, przyszedł ponownie i wraz z nowym początkiem podbił mrok mego umysłu, gdy nastąpiło tak doskonałe porozumienie między siedemnastoletnią pracą nad obserwacjami tychońskimi a obecną naradą, że początkowo uważałem, że miałem śniłem i zakładałem poszukiwane dowody potwierdzające. Jest jednak całkowicie pewne i dokładne, że proporcja między okresowymi czasami dowolnych dwóch planet jest dokładnie półtora razy większa niż proporcja średnich odległości .

Chociaż Kepler tak naprawdę nie opisuje inspiracji, która skłoniła go do uwierzenia, ciekawe sformułowanie stanowi bardzo silną wskazówkę w połączeniu z pewnymi informacjami biograficznymi:

  1. John Napier opublikował Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto w 1614 r., Który zawierał nowy wówczas wynalazek logarytmów. Kepler był świadomy dzieła Napiera do 1617 roku (Caspar s. 308), być może wcześniej.
  2. Joost Bürgi opublikował pracę nad logarytmami niemal w tym samym czasie co Napier, a Kepler był podobnie świadomy Bürgi, chwaląc nawet jego zdolności matematyczne jako przewyższające większość profesorów matematyki.

Zatem oświadczenie Keplera jest równoważne stwierdzeniu, że dane tworzą nachylenie 1,5 na wykresie log-log, co jest bardzo prostą zależnością liniową na tej skali.


Referencje:

  1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).
Stan Liou
źródło
Ciekawe, że wspomniał o średniej odległości .
CodesInChaos