Racjonalny rozkład a = xyz (x + y + z)

Funkcje zapisu x(a), y(a)i z(a)takie, że dla każdego racjonalnego a wszystkie funkcje zwracają liczby wymierne i x(a)*y(a)*z(a)*(x(a) + y(a) + z(a)) == a. Możesz założyć ≥ 0.

Nie musisz używać racjonalnych typów ani operacji w swoim programie, o ile twój program ma solidne podstawy matematyczne. Np. Jeśli użyjesz pierwiastka kwadratowego w swojej odpowiedzi, musisz pokazać, że jego argumentem jest zawsze kwadrat liczby wymiernej.

Możesz napisać trzy nazwane funkcje x, y, z lub zamiast tego napisać trzy programy, jeśli funkcje są uciążliwe lub nie istnieją w twoim języku. Alternatywnie możesz napisać pojedynczy program / funkcję, która zwraca trzy liczby x, y, z. Wreszcie, jeśli wolisz, możesz wprowadzić / wyprowadzić liczby wymierne jako parę licznika / mianownika. Twój wynik to całkowity rozmiar trzech funkcji lub trzech programów w bajtach. Najmniejszy wynik wygrywa.

Brutalne zmuszanie jest niedozwolone. Dla dowolnego a = p / q, gdzie p, q ≤ 1000, twój program powinien uruchomić się w ciągu 10 sekund.

Przykład (nie oznacza to, że twój rozkład musi podawać te liczby):

x = 9408/43615
y = 12675/37576
z = 1342/390
x*y*z*(x+y+z) = 1

code-golf math rational-numbers orlp
źródło

Czy możemy napisać jedną funkcję, która wyprowadza je wszystkie razem (powiedzmy w tablicy)?

Leaky Nun

Czy możemy wprowadzić licznik i mianownik jako dwie liczby?

Leaky Nun

@LeakyNun Tak i tak.

lub

Czy jest to wykonalne dla każdego a?

Fatalize

Zakładam, że nie chcesz pokazać dowodu, ponieważ dałby rozwiązanie, ale twoje słowo tak naprawdę nie jest dowodem.

Fatalize

CJam (59 bajtów)

{[WZ~C24X8TT]f*[4XGYC6 4Y].+_0=!>2%Z65135Zb+:(3/.f#:.*)W*+}

Jest to anonimowy blok (funkcja), który przyjmuje liczbę całkowitą lub podwójną na stos i tworzy tablicę z trzema podwójnymi liczbami. Ma wewnętrznie dwa przypadki do obsługi wszystkich nieujemnych danych wejściowych, ponieważ tylko jeden przypadek spowodowałby uszkodzenie jednego 0.25lub drugiego 4. To wciąż łamie dla wejść -12i -1.3333333333333333, ale spec pozwala, że ...

Demo on-line wykonuje go, a następnie sumuje wartości, drukuje wszystkie cztery, i mnoży im pokazać, że pobiera wartość pierwotną (modulo zaokrąglenia o błędzie).

Tło matematyczne

$w = - x - y - z$ $x + y + z + w = 0$ $-xyzw = a$ $xyzw + a = 0$

Elkies daje cztery rodziny zestawów rozwiązań. Euler:

\begin{array}{rcl} x & = & \frac{6 a s t^{3} (a t^{4} - 2 s^{4})^{2}}{(4 a t^{4} + s^{4}) (2 a^{2} t^{8} + 10 a s^{4} t^{4} - s^{8})} \\ y & = & \frac{3 s^{5} (4 a t^{4} + s^{4})^{2}}{2 t (a t^{4} - 2 s^{4}) (2 a^{2} t^{8} + 10 a s^{4} t^{4} - s^{8})} \\ z & = & \frac{2 (2 a^{2} t^{8} + 10 a s^{4} t^{4} - s^{8})}{3 s^{3} t (4 a t^{4} + s^{4})} \\ w & = & \frac{- (2 a^{2} t^{8} + 10 a s^{4} t^{4} - s^{8})}{6 s^{3} t (a t^{4} - 2 s^{4})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{6ast^3(at^4-2s^4)^2}{(4at^4+s^4)(2a^2t^8 + 10as^4t^4 - s^8)} \\ y & = & \frac{3s^5(4at^4+s^4)^2}{2t(at^4-2s^4)(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)} \\ z & = & \frac{2(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)}{3s^3t(4at^4+s^4)} \\ w & = & \frac{-(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)}{6s^3t(at^4-2s^4)} \end{eqnarray*}$

Jeden związany z Eulerem:

\begin{array}{rcl} x & = & \frac{(8 s^{8} + a^{2}) (8 s^{8} - 88 a s^{4} - a^{2})}{12 s^{3} (s^{4} - a) (8 s^{8} + 20 a s^{4} - a^{2})} \\ y & = & \frac{(8 s^{8} + a^{2}) (8 s^{8} - 88 a s^{4} - a^{2})}{12 s^{3} (8 s^{4} + a) (8 s^{8} + 20 a s^{4} - a^{2})} \\ z & = & \frac{192 a s^{5} (s^{4} - a)^{2} (8 s^{4} + a)^{2}}{(8 s^{8} + a^{2}) (8 s^{8} - 88 a s^{4} - a^{2}) (8 s^{8} + 20 a s^{4} - a^{2})} \\ w & = & \frac{- 3 s (8 s^{8} + 20 a s^{4} - a^{2})^{3}}{4 (s^{4} - a) (8 s^{4} + a) (8 s^{8} + a^{2}) (8 s^{8} - 88 a s^{4} - a^{2})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}{12s^3(s^4-a)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ y & = & \frac{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}{12s^3(8s^4+a)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ z & = & \frac{192as^5(s^4-a)^2(8s^4+a)^2}{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ w & = & \frac{-3s(8s^8+20as^4-a^2)^3}{4(s^4-a)(8s^4+a)(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}\\ \end{eqnarray*}$

Prostszy:

\begin{array}{rcl} x & = & \frac{(s^{4} - 4 a)^{2}}{2 s^{3} (s^{4} + 12 a)} \\ y & = & \frac{2 a (3 s^{4} + 4 a)^{2}}{s^{3} (s^{4} - 4 a) (s^{4} + 12 a)} \\ z & = & \frac{s^{5} + 12 a s}{2 (3 s^{4} + 4 a)} \\ w & = & \frac{- 2 s^{5} (s^{4} + 12 a)}{(s^{4} - 4 a) (3 s^{4} + 4 a)} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{(s^4-4a)^2}{2s^3(s^4+12a)} \\ y & = & \frac{2a(3s^4+4a)^2}{s^3(s^4-4a)(s^4+12a)} \\ z & = & \frac{s^5+12as}{2(3s^4+4a)} \\ w & = & \frac{-2s^5(s^4+12a)}{(s^4-4a)(3s^4+4a)} \\ \end{eqnarray*}$

And one related to that one:

\begin{array}{rcl} x & = & \frac{s^{5} (s^{4} - 3 a)^{3}}{2 (s^{4} + a) (s^{12} + 12 a s^{8} - 3 a^{2} s^{4} + 2 a^{3})} \\ y & = & \frac{s^{12} + 12 a s^{8} - 3 a^{2} s^{4} + 2 a^{3}}{2 s^{3} (s^{4} - 3 a) (3 s^{4} - a)} \\ z & = & \frac{2 a (s^{4} + a)^{2} (3 s^{4} - a)^{2}}{s^{3} (s^{4} - 3 a) (s^{12} + 12 a s^{8} - 3 a^{2} s^{4} + 2 a^{3})} \\ w & = & \frac{- 2 s (s^{12} + 12 a s^{8} - 3 a^{2} s^{4} + 2 a^{3})}{(s^{4} - 3 a) (s^{4} + a) (3 s^{4} - a)} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{s^5(s^4-3a)^3}{2(s^4+a)(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)} \\ y & = & \frac{s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3}{2s^3(s^4-3a)(3s^4-a)} \\ z & = & \frac{2a(s^4+a)^2(3s^4-a)^2}{s^3(s^4-3a)(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)} \\ w & = & \frac{-2s(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)}{(s^4-3a)(s^4+a)(3s^4-a)} \end{eqnarray*}$

Observe that every family has at least two denominators of the form $ps^4 - qa$ for positive $p$ and $q$ : since all the terms involved are rational, that means that there's some positive $a$ for which we get division by zero. Therefore we must use at least two sets of solutions which have their singularities at different values of $a$ . Intuitively it's going to be golfiest to choose two sets from the same family. I've chosen the simplest family (the third one) with parameters $s=1$ and $s=2$ .

Peter Taylor
źródło

Racjonalny rozkład a = xyz (x + y + z)

Odpowiedzi:

CJam (59 bajtów)

Tło matematyczne

Axiom, 191 bytes