Wyobraźmy sobie wyliczenie rosnących elementów romboidów [1],[1,3,1],[1,3,5,3,1],…(tylko takie liczby nieparzyste, że ładnie się wyrównują). Wyglądałoby to następująco: pamiętaj, że zawsze zaczynasz wyliczać 1:

                   01
       1        02 03 04
 1   2 3 4   05 06 07 08 09          …
       5        10 11 12
                   13
(1) (1,3,1)    (1,3,5,3,1)    (1,3,5,7,5,3,1)   …

Teraz, jeśli zaczniesz sumować kolumny ( [1],[2],[1,3,5],[4],[5],[2,6,10],…), otrzymasz sekwencję rombu . Oto pierwszych 100 elementów tej sekwencji:

1,2,9,4,5,18,35,24,9,10,33,60,91,70,45,16,17,54,95,140,189,154,115,72,25,26,81,140,203,270,341,288,231,170,105,36,37,114,195,280,369,462,559,484,405,322,235,144,49,50,153,260,371,486,605,728,855,754,649,540,427,310,189,64,65,198,335,476,621,770,923,1080,1241,1110,975,836,693,546,395,240,81,82,249,420,595,774,957,1144,1335,1530,1729,1564,1395,1222,1045,864,679,490,297,100

IO

Możesz wybrać jedną z tych trzech metod wejścia / wyjścia (nie będziesz musiał obsługiwać nieprawidłowych danych wejściowych):

• Biorąc pod uwagę liczbę całkowitą n, wyjście n- ty element w tej sekwencji (0 lub 1 indeksowany, twój wybór)
• Biorąc pod uwagę liczbę całkowitą n wyjściową pierwsze n elementów tej sekwencji
• Wydrukuj / zwróć sekwencję w nieskończoność

Przypadki testowe

Zapoznaj się z pierwszymi 100 terminami powyżej, oto kilka większych przykładów (indeksowanych 1):

101 -> 101
443 -> 1329
1000 -> 49000    
1984 -> 164672
2017 -> 34289
2018 -> 30270
3000 -> 153000

Bałwan , 72 bajty

((}1vn2nD#`nPnCdU!*2nM1`nR:#nSNaB#`nS2nMNdE;aM|#NdE2nP+#`nSNdE`|aA#nM*))

Jest to podprogram, który pobiera 1-indeksowane dane wejściowe i zwraca odpowiednie dane wyjściowe przez permawar +.

Wypróbuj online!

((        // begin subroutine
 }        // we'll only need 3 variables - b, e, g
 1vn2nD   // b = 0.5
 #`       // retrieve input and swap, now b = input and e = 0.5
 nP       // power, resulting in b=sqrt(input)
 nC       // ceiling - this gives the index i of the rhombus we want
 dU!*     // keep a copy of i in the permavar ! for later use
 2nM1`nR  // generate the range [1, 2i)
 :        // map the following block over the range...
  #nS     // subtract i, resulting in e.g. [-3 -2 -1 0 1 2 3] for i=4
  NaB     // absolute value - [3 2 1 0 1 2 3]
  #`nS    // subtract from i, giving [1 2 3 4 3 2 1]
  2nMNdE  // double and decrement, [1 3 5 7 5 3 1]
 ;aM      // map
 |        // shove the rhombus columns into g
 #NdE2nP  // b = (i-2)^2
 +#`      // move b into e and replace it with the original input
 nSNdE    // subtract the two and decrement, giving input-(i-2)^2-1
 `|aA     // this is the index into the rhombus columns that we want
 #nM*     // multiply by the original input and return
))

Wykorzystuje to w zasadzie ten sam algorytm, co odpowiedź pana Xcodera - jedyną różnicą jest to, że tutaj generujemy tylko kolumny potrzebnego nam rombu, czyli ceil (sqrt (n)) th. Aby zilustrować, dlaczego to działa, oto dane wejściowe, które odpowiadają każdemu rombowi:

rhombus #   inputs
1           1
2           2 3 4
3           5 6 7 8 9
4           10 11 12 13 14 15 16
...

Zauważ, że lewa kolumna odpowiada dokładnie pułapowi pierwiastka kwadratowego każdego elementu w prawej kolumnie. Aby uzyskać stąd indeks oparty na 1, po prostu odejmujemy kwadrat indeksu poprzedniego rombu.

Galaretka , 10 bajtów

Ḥ€€’ŒBFị@×

Wypróbuj online!

Pełny program / łącze monadyczne zwracające N- ty termin (1-indeksowany).

Zauważyłem, że każda suma jest indeksem tej kolumny na ogólnej liście kolumn (samo wejście) pomnożonej przez indeks tej kolumny w odpowiednim Rombie, więc nie ma potrzeby generowania wierszy.

W jaki sposób?

Ḥ €€ 'ịBFị @ × ~ Pełny program. Wywołam wejście N.

  € ~ Dla każdej liczby całkowitej X w zakresie [1, N].
Ḥ € ~ Podwój każdą liczbę całkowitą w zakresie [1, X].
   „~ Zmniejszenie (odejmij 1).
    ŒB ~ Odbijanie (element-mądry). Palindromuj każdego.
      F ~ Spłaszcz.
       ị @ ~ Uzyskaj element o indeksie N na naszej liście.
         × ~ Pomnóż przez N.

JavaScript (ES7), 42 41 bajtów

Zapisano 1 bajt dzięki @ovs

0-indeksowane. Wyrażenie w formie zamkniętej pochodzące z A004737 .

n=>((k=n**.5|0)-Math.abs(n+k*~k))*2*++n+n

Przypadki testowe

let f =

n=>((k=n**.5|0)-Math.abs(n+k*~k))*2*++n+n

console.log(f(101-1))  // 101
console.log(f(443-1))  // 1329
console.log(f(1000-1)) // 49000    
console.log(f(1984-1)) // 164672
console.log(f(2017-1)) // 34289
console.log(f(2018-1)) // 30270
console.log(f(3000-1)) // 153000

Befunge, 62 60 bajtów

&:1>:00p:*`|
00:-\*:g00:<>2-\-0v!`\g
*.@v+1<g00:<^*2g00_2*1+

Wypróbuj online!

Wyjaśnienie

Zaczynamy od odczytania numeru elementu opartego na jednym, n , ze standardowego wejścia i zapisania duplikatu.
Następnie określamy, w którym rombie się znajdujemy, licząc liczbę całkowitą r , do r*r >= n.
Przesunięcie kolumny od prawej strony rombu, c , wynosi r*r - n.
Aby uzyskać odbicie tego przesunięcia wokół osi środkowej, sprawdzamy, czy c >= r.
A jeśli tak, to odbite c staje się r*2 - 2 - c.
Po uzyskaniu odbicia c suma kolumny jest po prostu (c*2 + 1) * n.

APL (Dyalog) , 18 bajtów

{⍵×2×⌊/|⍵-.5+×⍨⍳⍵}

Wypróbuj online!

Galaretka , 8 bajtów

_.ạ²€ṂḤ×

Wypróbuj online!

Jak to działa

_.ạ²€ṂḤ×  Main link. Argument: n

_.        Subtract 0.5; yield (n - 0.5).
   ²€     Square each; yield [1², 2², ..., n²].
  ạ       Take the absolute differences of (n - 0.5) and each of the squares.
     Ṃ    Take the minimum.
      Ḥ   Unhalve; double the minimum.
       ×  Multiply the result by n.