Przeglądałem Stackoverflow i zobaczyłem to pytanie o kafelkowanie prostokąta MxN i pomyślałem, że będzie to świetne miejsce do gry w golfa. Oto zadanie.

Biorąc pod uwagę wymiary M i N, napisz program, który wyświetli, ile unikalnych sposobów można prostokątować prostokątem MxN (N to liczba wierszy, a nie kolumn. To nie ma znaczenia), biorąc pod uwagę te ograniczenia.

1. Wszystkie płytki to 2x1 lub 3x1
2. Wszystkie płytki pozostają w swoim rzędzie (tzn. Wszystkie są poziome)
3. Pomiędzy każdym dwoma sąsiadującymi rzędami płytki nie powinny być wyrównane, z wyjątkiem dwóch końców
4. Gwarantowane jest, że M i N wynoszą co najmniej 1

Na przykład poprawne kafelkowanie macierzy 8x3 to

  2    3     3
  |    |     |
  v    v     v
 _______________
|___|_____|_____| 
|_____|_____|___|
|___|_____|_____|

Ale następujące elementy byłyby nieprawidłowe, ponieważ wiersze są wyrównane

  2    3     3
  |    |     |
  v    v     v
 _______________
|___|_____|_____| 
|_____|___|_____|
|_____|_____|___|

Przypadki testowe:

8x3: 4

3x1: 1

1x1: 0

9x4: 10

Code golf, więc najkrótsza odpowiedź wygrywa.

Galaretka , 20 bajtów

2*ḃ€2‘ÄṪ⁼¥Ƈ⁸ṗfƝẸ$€ċ0

Wypróbuj online!

JavaScript (ES6),  119 110 106 96  91 bajtów

$(N,M)$

f=(n,m,p=0,g=(w,h=x=>g(p[g[w-=x]=1,w]||w)*g[w]--)=>w>3?h(2)+h(1):w>1&&f(n,m-1,g))=>m?g(n):1

Wypróbuj online!

Skomentował

$g$$f$$h$$g$

f = (                    // f is a recursive function taking:
  n,                     //   n = number of columns
  m,                     //   m = number of rows
  p = 0,                 //   p = object holding the previous row
  g = (                  //   g = recursive function taking:
    w,                   //     w = remaining width that needs to be filled in the
                         //         current row
    h = x =>             //     h = helper function taking x
                         // h body:
      g(                 //   recursive call to g:
        p[g[w -= x] = 1, //     subtract either 2 or 1 from w and mark this width as used
          w              //     test p[w]
        ]                //     pass p[w] if p[w] = 1 (which will force the next iteration
                         //     to fail immediately)
        || w             //     otherwise, pass w
      )                  //   end of recursive call
      * g[w]--           //   then restore g[w] to 0
  ) =>                   // g body:
    w > 3 ?              //   if w > 3, we need to insert at least 2 more bricks:
      h(2) + h(1)        //     invoke h with x = 2 and x = 1
    :                    //   else:
      w > 1              //     this is the last brick; we just check if it can be inserted
      &&                 //     abort if w is equal to 1 (a brick does not fit in there)
      f(                 //     otherwise, do a recursive call to f:
        n,               //       n is unchanged
        m - 1,           //       decrement m
        g                //       pass g as the new reference row
      )                  //     end of recursive call
) =>                     // f body:
  m ? g(n) : 1           //   yield 1 if we made it to the last row or call g otherwise

R , 243 231 bajtów

function(m,n,i=2*0:(m%/%6)+m%%2,j=i+(m-3*i)/2,M=Map)`if`(m<2,0,sum((e=eigen(lengths(outer(p<-unlist(M(M,list(function(x,y)cumsum(2+1:y%in%x)),M(combn,j,i,s=F),j),F),p,Vectorize(intersect)))<2))$ve%*%diag(e$va^(n-1))%*%solve(e$ve)))

Wypróbuj online!

Wersja z podziałami linii:

function(m,n,i=2*0:(m%/%6)+m%%2,j=i+(m-3*i)/2,M=Map)`if`(m<2,0,
sum((e=eigen(lengths(outer(p<-unlist(M(M,list(function(x,y)cumsum(2+1:y%in%x)),
M(combn,j,i,s=F),j),F),p,Vectorize(intersect)))<2))$ve%*%diag(e$va^(n-1))%*%solve(e$ve)))

Nie zauważaj rekurencji i obsługuje dość duże wartości min (np. 24x20 -> 3,3e19)

Oto skomentowana odpowiedź, która działa mniej więcej tak samo jak powyżej, ale usunąłem wszystkie funkcje, więc jest w rzeczywistości czytelna:

f <- function(m,n) {
  # First work out what potential combinations of 2s and 3s add up to m
  i <- 2*0:(m %/% 6) + m %% 2 # Vector with numbers of possible 3s
  j <- i + (m - 3 * i) / 2 # Vector with total number of 2s and 3s
  if (m < 2) {
    0 # If wall less than 2 wide, no point in continuing because answer is 0
  } else {
    # Work out all possible positions of threes for each set
    positions_of_threes <- Map(combn, j, i, simplify = FALSE)
    # Function to work out the cumulative distance along the wall for a given
    # Set of three positions and number of bricks
    make_cumulative_bricks <- function(pos_threes, n_bricks) {
      bricks <- 1:n_bricks %in% pos_threes
      cumsum(2 + bricks)
    }
    # Find all possible rows with cumulative width of wall
    # Note because this is a `Map` with depth two that needs to be vectorised
    # for both `positions_of_threes` and `j`, and we're using base R, the
    # function `make_cumulative_bricks` needs to be placed in a list
    cum_bricks <- Map(Map, list(make_cumulative_bricks), positions_of_threes, j)
    # Finally we have the list of possible rows of bricks as a flat list
    cum_bricks_unlisted <- unlist(cum_bricks, recursive = FALSE)
    # Vectorise the intersect function
    intersect_v <- Vectorize(intersect, SIMPLIFY = FALSE)
    # Find the length of all possible intersects between rows
    intersections <- outer(cum_bricks_unlisted, cum_bricks_unlisted, intersect_v)
    n_intersections <- lengths(intersections)
    # The ones not lined up will only have a single intersect at `m`
    not_lined_up <- n_intersections == 1
    # Now use method described at /programming//a/9459540/4998761
    # to calculate the (matrix of TRUE/FALSE for lined-up) to the power of `n`
    eigen_nlu <- eigen(not_lined_up)
    final_mat <- eigen_nlu$vectors %*%
      diag(eigen_nlu$values ^ (n - 1)) %*%
      solve(eigen_nlu$vectors)
    # The sum of this matrix is what we're looking for
    sum(final_mat)
  }
}
f(20,20)

Metoda pobierania macierzy i jej wielokrotnego mnożenia pochodzi z pytania o przepełnienie stosu . To podejście działa tutaj, ponieważ skutecznie oblicza łączną liczbę gałęzi w różnych możliwych rzędach cegieł.

Jeśli dozwolone są pakiety zewnętrzne, mogę sprowadzić je do 192:

function(m,n,i=2*0:(m%/%6)+m%%2,j=i+(m-3*i)/2,M=purrr::map2)`if`(m<2,0,sum(expm::`%^%`(lengths(outer(p<-unlist(M(M(j,i,combn,s=F),j,M,~cumsum(2+1:.y%in%.)),F),p,Vectorize(intersect)))<2,n-1)))

Galaretka , 26 bajtów

2*ḃ€2‘ÄṪ⁼¥Ƈ⁸œ&L¬ɗþ`æ*⁴’¤SS

Wypróbuj online!

Zepsuty:

Wygeneruj listę możliwych ścian jako sumy zbiorcze z usuniętym końcem:

2*ḃ€2‘ÄṪ⁼¥Ƈ⁸

Znajdź zewnętrzny stół wszystkich możliwych ścian, które nie mają żadnych skrzyżowań:

œ&L¬ɗþ`

Weź tę macierz do potęgi (N-1), a następnie podsumuj wszystko:

æ*⁴’¤SS

Używa pierwszego bitu z odpowiedzi @ EriktheOutgolfer, aby wygenerować listę możliwych ścian, a następnie stosuje podejście przecięcia macierzy i wykładnika macierzy z mojej odpowiedzi R. Jako taki, działa dobrze nawet z dużymi N. To jest moja pierwsza odpowiedź na żelki i podejrzewam, że można więcej grać w golfa. Idealnie chciałbym również zmienić pierwszą sekcję, aby wymagania dotyczące czasu i pamięci nie skalowały się wykładniczo z M.

05AB1E , 42 bajty

Åœʒ23yåP}€œ€`Ùε.¥¦¨}IиI.ÆÙεøyíø‚€€üQOO_P}O

Jestem prawie zbyt zawstydzony, aby to opublikować, i zdecydowanie może grać w golfa przez LOT z innym podejściem, ale ponieważ zajęło to trochę czasu, postanowiłem opublikować to i odtąd grać w golfa. Wyzwanie wygląda na łatwiejsze niż jest na Imo, ale zdecydowanie używam tutaj niewłaściwego podejścia i mam wrażenie, że 05AB1E może zrobić około 25 bajtów ..

Wypróbuj online. UWAGA: Jest nie tylko długi, ale także nieefektywny, ponieważ 9x4przypadek testowy działa na TIO w około 40 sekund.

Wyjaśnienie:

Ŝ             # Get all possible ways to sum to the (first) implicit input
               #  i.e. 8 → [[1,1,1,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1,1,2],[1,1,1,1,1,3],[1,1,1,1,2,2],[1,1,1,1,4],[1,1,1,2,3],[1,1,1,5],[1,1,2,2,2],[1,1,2,4],[1,1,3,3],[1,1,6],[1,2,2,3],[1,2,5],[1,3,4],[1,7],[2,2,2,2],[2,2,4],[2,3,3],[2,6],[3,5],[4,4],[8]]
  ʒ23yåP}      # Only leave those consisting of 2s and/or 3s
               #  → [[2,2,2,2],[2,3,3]]
         €œ    # For each: get all permutations
           €`  # Flatten this list of lists once
             Ù # And uniquify it (leaving all possible distinct rows of bricks)
               #  → [[2,2,2,2],[3,3,2],[3,2,3],[2,3,3]]
ε    }         # For each:
 .¥            #  Get the cumulative sum
   ¦¨          #  With the leading 0 and trailing first input removed
               #   → [[2,4,6],[3,6],[3,5],[2,5]]
      Iи       # Repeat this list the second input amount of times
               #  i.e. 3 → [[2,4,6],[3,6],[3,5],[2,5],[2,4,6],[3,6],[3,5],[2,5],[2,4,6],[3,6],[3,5],[2,5]]
        I.Æ    # Get all combinations of lists the size of the second input
           Ù   # And uniquify the result (leaving all possible distinct walls)
               #  → [[[2,4,6],[3,6],[3,5]],[[2,4,6],[3,6],[2,5]],[[2,4,6],[3,6],[2,4,6]],[[2,4,6],[3,6],[3,6]],[[2,4,6],[3,5],[2,5]],[[2,4,6],[3,5],[2,4,6]],[[2,4,6],[3,5],[3,6]],[[2,4,6],[3,5],[3,5]],[[2,4,6],[2,5],[2,4,6]],[[2,4,6],[2,5],[3,6]],[[2,4,6],[2,5],[3,5]],[[2,4,6],[2,5],[2,5]],[[2,4,6],[2,4,6],[3,6]],[[2,4,6],[2,4,6],[3,5]],[[2,4,6],[2,4,6],[2,5]],[[2,4,6],[2,4,6],[2,4,6]],[[3,6],[3,5],[2,5]],[[3,6],[3,5],[2,4,6]],[[3,6],[3,5],[3,6]],[[3,6],[3,5],[3,5]],[[3,6],[2,5],[2,4,6]],[[3,6],[2,5],[3,6]],[[3,6],[2,5],[3,5]],[[3,6],[2,5],[2,5]],[[3,6],[2,4,6],[3,6]],[[3,6],[2,4,6],[3,5]],[[3,6],[2,4,6],[2,5]],[[3,6],[2,4,6],[2,4,6]],[[3,6],[3,6],[3,5]],[[3,6],[3,6],[2,5]],[[3,6],[3,6],[2,4,6]],[[3,6],[3,6],[3,6]],[[3,5],[2,5],[2,4,6]],[[3,5],[2,5],[3,6]],[[3,5],[2,5],[3,5]],[[3,5],[2,5],[2,5]],[[3,5],[2,4,6],[3,6]],[[3,5],[2,4,6],[3,5]],[[3,5],[2,4,6],[2,5]],[[3,5],[2,4,6],[2,4,6]],[[3,5],[3,6],[3,5]],[[3,5],[3,6],[2,5]],[[3,5],[3,6],[2,4,6]],[[3,5],[3,6],[3,6]],[[3,5],[3,5],[2,5]],[[3,5],[3,5],[2,4,6]],[[3,5],[3,5],[3,6]],[[3,5],[3,5],[3,5]],[[2,5],[2,4,6],[3,6]],[[2,5],[2,4,6],[3,5]],[[2,5],[2,4,6],[2,5]],[[2,5],[2,4,6],[2,4,6]],[[2,5],[3,6],[3,5]],[[2,5],[3,6],[2,5]],[[2,5],[3,6],[2,4,6]],[[2,5],[3,6],[3,6]],[[2,5],[3,5],[2,5]],[[2,5],[3,5],[2,4,6]],[[2,5],[3,5],[3,6]],[[2,5],[3,5],[3,5]],[[2,5],[2,5],[2,4,6]],[[2,5],[2,5],[3,6]],[[2,5],[2,5],[3,5]],[[2,5],[2,5],[2,5]]]
ε              # Map all walls `y` to:
 ø             #  Zip/transpose; swapping rows and columns
 yí            #  Reverse each row in a wall `y`
   ø           #  Also zip/transpose those; swapping rows and columns
 ‚             #  Pair both
  €            #  For both:
   €           #   For each column:
    ü          #    For each pair of bricks in a column:
     Q         #     Check if they are equal to each other (1 if truthy; 0 if falsey)
    O          #    Then take the sum of these checked pairs for each column
   O           #   Take the sum of that entire column
   _           #   Then check which sums are exactly 0 (1 if 0; 0 if anything else)
   P           #   And check for which walls this is only truthy by taking the product
}O             # After the map: sum the resulting list
               # (and output it implicitly as result)

Węgiel drzewny , 89 bajtów

Ｎθ⊞υ⟦⟧≔⟦⟧ηＦυＦ⟦²¦³⟧«≧⁺∧Ｌι§ι⁰κ¿⁼κθ⊞ηι¿‹κθ⊞υ⁺⟦κ⟧ι»≔Ｅη⟦ι⟧ζＦ⊖Ｎ«≔ζι≔⟦⟧ζＦιＦη¿¬⊙§κ⁰№λμ⊞ζ⁺⟦λ⟧κ»ＩＬζ

Wypróbuj online! Link jest do pełnej wersji kodu. Działa w przypadku prostokątów o wielkości do około 12 w TIO, ale można je wykonać około trzy razy szybciej, kosztem 2 bajtów, stosując kręcenie bitów zamiast przecinania listy. Wyjaśnienie:

Ｎθ

Wprowadź szerokość.

⊞υ⟦⟧

Zacznij od rzędu bez cegieł.

≔⟦⟧η

Zacznij bez zakończonych wierszy.

Ｆυ

Pętla nad rzędami.

Ｆ⟦²¦³⟧«

Pętla nad cegłami.

≧⁺∧Ｌι§ι⁰κ

Dodaj szerokość cegły do ​​bieżącej szerokości wiersza.

¿⁼κθ⊞ηι

Jeśli spowoduje to szerokość wejściową, dodaj ten wiersz do listy zakończonych wierszy.

¿‹κθ⊞υ⁺⟦κ⟧ι»

W przeciwnym razie, jeśli jest to nadal mniej niż szerokość wejściowa, dodaj nowy wiersz do listy wierszy, powodując, że zostanie on przechwycony przez późniejszą iterację.

≔Ｅη⟦ι⟧ζ

Zrób listę ścian jednego rzędu.

Ｆ⊖Ｎ«

Zapętlić o jeden mniej niż wysokość.

≔ζι

Zapisz listę ścian.

≔⟦⟧ζ

Wyczyść listę ścian.

Ｆι

Pętla nad zapisaną listą ścian.

Ｆη

Pętlę nad ukończonymi rzędami.

¿¬⊙§κ⁰№λμ⊞ζ⁺⟦λ⟧κ»

Jeśli wiersz można dodać do tej ściany, dodaj go do listy ścian.

ＩＬζ

Podaj długość końcowej listy ścian.