Biorąc pod uwagę liczbę całkowitą Gaussa gdzie , są liczbami całkowitymi, a jest jednostką urojoną, zwraca najbliższą (wrt na odległość euklidesową) liczbę całkowitą Eisensteina gdzie , są liczbami całkowitymi, a .$a+bi$$a$$b$$i = \exp\left(\pi i/2\right)$$k+l\omega$$k$$l$$\omega = \exp(2\pi i/3) = (-1+i\sqrt{3})/2$

tło

Jest prawdopodobnie całkiem oczywiste, że każdą liczbę całkowitą Gaussa można jednoznacznie zapisać jako z liczbami całkowitymi , . Nie jest to tak oczywiste, ale mimo to prawdziwe: każda liczba całkowita Eisensteina może być jednoznacznie zapisana jako z liczbami całkowitymi , . Oba tworzą moduł w obrębie liczb zespolonych i oba są p-tymi cyklotomicznymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla lub . Zauważ, że$a+bi$$a$$b$$k+l\omega$$k$$l$$\mathbb{Z}$$p=2$$3$$3+2i \neq 3+2\omega$

_{^{Źródło: commons.wikimedia.org}}

Detale

• W przypadku, gdy podana liczba zespolona ma dwa lub trzy najbliższe punkty, dowolny z nich można zwrócić.

• Kompleks numer znajduje się w układzie współrzędnych prostokątnych (podstawa ), ale poza tym w dowolnej dogodnej postaci, jak i albo itp$(1,i)$(A,B)A+BiA+B*1j

• Eisenstein całkowitą musi być zwrócony w współrzędnych podstawy , ale poza tym w każdej dogodnej postaci, jak i albo itp$(1,\omega)$(K,L)K+LωK+L*1ω

Przykłady

Wszystkie prawdziwe liczby całkowite powinny oczywiście zostać ponownie zmapowane na rzeczywiste liczby całkowite.

  6,14 -> 14,16
  7,16 -> 16,18
-18,-2 ->-19,-2
 -2, 2 -> -1, 2
 -1, 3 -> 1, 4

APL (Dyalog Extended) , 16 bajtów ^SBCS

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3

Wypróbuj online!

Pełny program, który pobiera ynastępnie xze standardowego wejścia i drukuje 2-elementowy wektor liczb całkowitych.

Jak to działa: matematyka

$Z$$(x,\sqrt3y)$$x,y$

      + W
     /|\
    / | \
   /  |  \
  /   + X \
 /    |    \
+-----|-----+V
 \    |    /
  \   + Y /
   \  |  /
    \ | /
     \|/
      + Z

$\overline{WZ}=\sqrt3$$\overline{WX}=\overline{XY}=\overline{YZ}=\overline{XV}=\overline{YV}=\frac{1}{\sqrt3}$

$$\text{Given a point }P \in \overline{WZ}, \\ \left\{ \begin{array}{c} P \in \overline{WX} \implies \text{the nearest point is } W \\ P \in \overline{XY} \implies \text{the nearest point is } V \\ P \in \overline{YZ} \implies \text{the nearest point is } Z \end{array} \right.$$

$P$$P$$h$$Z$$x$

$$h = \lfloor P.y \div \sqrt3 \rfloor$$

$Z$

$$Z.x_E = P.x+h, \quad Z.y_E = 2h$$

$\overline{WX},\overline{XY},\overline{YZ}$ $P$$w$

$$w = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor \% 3$$

$w = 0, 1, 2$$\overline{YZ},\overline{XY},\overline{WX}$$P$$Z$$V$$X$

$$P_E.x_E = P.x+h+\lceil \frac{w}2 \rceil, \quad P_E.y_E = 2h+w$$

$h$$w$

$$y' = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor, \quad P_E.x_E = P.x+\lceil y' \div 3 \rceil, \quad P_E.y_E = \lceil 2y' \div 3 \rceil$$

Jak to działa: kod

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3
           ⌊⎕×√3  ⍝ Take the first input (P.y) and calculate y'
   ⌈3÷⍨1 2×       ⍝ Calculate [ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]
⎕0+  ⍝ Take the second input(P.x) and calculate [P.x+ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]

JavaScript (ES6), 112 bajtów

(a,b,l=b/Math.pow(.75,.5),k=a+l/2,f=Math.floor,x=k-(k=f(k)),y=l-(l=f(l)),z=x+y>1)=>[k+(y+y+z>x+1),l+(x+x+z>y+1)]

ES7 może oczywiście przyciąć 9 bajtów. Objaśnienie: ki lpoczątkowo reprezentuje rozwiązanie zmiennoprzecinkowe dla k+ωl=a+ib. Jednak współrzędne musiały zostać zaokrąglone do najbliższej liczby całkowitej o odległość euklidesową. I w związku z tym podjąć podłogę ki l, a następnie wykonać kilka testów na częściach ułamkowych do określenia, czy je zwiększając doprowadziłoby do punktu bliżej a+ib.

MATL , 39 38 35 bajtów

t|Ekt_w&:2Z^tl2jYP3/*Zeh*!sbw6#YkY)

Format wejściowy to 6 + 14*1j(spacja jest opcjonalna). Format wyjściowy to 14 16.

Wypróbuj online!

Wyjaśnienie

Kod najpierw przyjmuje dane wejściowe jako liczbę zespoloną. Następnie generuje wystarczająco dużą siatkę heksagonalną w złożonej płaszczyźnie, znajduje punkt najbliższy wejściowi i zwraca „współrzędne” Eisensteina.

t         % Take input implicitly. This is the Gauss number, say A. Duplicate
|Ek       % Absolute value times two, rounded down
t_        % Duplicate and negate
w&:       % Range. This is one axis of Eisenstein coordinates. This will generate
          % the hexagonal grid big enough
2Z^       % Cartesian power with exponent 2. This gives 2-col 2D array, say B
t         % Duplicate
l         % Push 1
2jYP3/*   % Push 2*j*pi/3
Ze        % Exponential
h         % Concatenate. Gives [1, exp(2*j*pi/3)]
*         % Multiply by B, with broadcast.
!s        % Sum of each row. This is the hexagonal grid as a flattened array, say C
bw        % Bubble up, swap. Stack contains now, bottom to top: B, A, C
6#Yk      % Index of number in C that is closest to A
Y)        % Use as row index into B. Implicitly display

Haskell , 128 bajtów

i=fromIntegral;r=[floor,ceiling];a!k=(i a-k)**2;c(a,b)|l<-2*i b/sqrt 3,k<-i a+l/2=snd$minimum[(x k!k+y l!l,(x k,y l))|x<-r,y<-r]

Wypróbuj online!

Aby wprowadzić liczbę całkowitą Gaussa (a, b), przekonwertuj ją na współrzędne Eisensteina, podłogę i sufit obu komponentów, aby uzyskać czterech kandydatów na najbliższą liczbę całkowitą Eisensteina, znajdź tę z minimalną odległością i zwróć ją.

Tcl , 124 116 106 bajtów

{{a b f\ int(floor(2*$b/3**.5)) {l "[expr $f+(1-$f%2<($b-$f)*3**.5)]"}} {subst [expr $l+$a-($f+1)/2]\ $l}}

Wypróbuj online!

Jest to nieco inspirowane trzyletnim postem z @Neil

$\omega$

Zaoszczędzono 10 bajtów, używając „znaku iloczynu krzyżowego vxd przekątnej d z wektorem v łączącym prawy dolny róg i (a, b)” jako testu, po której stronie przekątnej leży punkt.

Burleska , 24 bajty

pe@3r@2././J2./x/.+CL)R_

Wypróbuj online!

Jestem pewien, że może to być krótsze. Dane wejściowe czytane jakoa b

pe      # Parse input to two ints
@3r@2./ # sqrt(3)/2
./      # Divide b by sqrt(3)/2
J2./    # Duplicate and divide by 2
x/.+    # swap stack around and add to a
CL      # Collect the stack to a list
)R_     # Round to ints

05AB1E , 13 bajtów

Odpowiedź APL Portu Bubblera

3t*ïx‚3/îR΂+

Wypróbuj online!

Wejścia i wyjścia są zarówno y y, x sekunda.