Dlaczego BRDF nie jest stosunkiem radiancji?

Uczę się o BRDF i zastanawiam się, dlaczego BRDF jest zdefiniowany jako stosunek wychodzącego promieniowania do danego kierunku i napływającego promieniowania z innego kierunku. Dlaczego BRDF nie jest zdefiniowany jako stosunek promieniowania?

Istnieje kilka sposobów odpowiedzi na to pytanie: sposób algebraiczny i geometryczny.

Algebraicznie możemy zidentyfikować jednostki, które musi mieć BRDF, patrząc na jego miejsce w równaniu renderowania. Klasyczne równanie renderujące to:

Wartość wyjściowa po lewej stronie jest promieniowaniem, więc wynikiem całki musi być również promieniowanie. Całka zawiera promieniowanie pomnożone przez kąt stały , więc coś innego w całce musi zlikwidować ten współczynnik kąta bryłowego. Współczynnik jest bezwymiarowy, a jedyną inną rzeczą jest BRDF - więc aby wszystko działało, BRDF musi mieć jednostki odwrotnego kąta bryłowego. Równolegle BRDF można postrzegać jako stosunek luminancji do irradiancji, ponieważ różnią się one współczynnikiem kąta bryłowego w mianowniku luminancji.$d\omega'$$n \cdot \omega'$

Innym sposobem, aby to zobaczyć, jest to, że BRDF odgrywa rolę podobną do gęstości prawdopodobieństwa. Jeśli spojrzysz na to, jak działają gęstości prawdopodobieństwa, mają one jednostki odwrotne do objętości ich domeny. Na przykład gęstość prawdopodobieństwa 1D ma jednostki długości odwrotnej (prawdopodobieństwo na jednostkę długości, ale samo prawdopodobieństwo jest bezwymiarowe), 2D ma jednostki pola odwrotnego i tak dalej. BRDF działa podobnie do gęstości prawdopodobieństwa określonej na półkuli, dając prawdopodobieństwo, że foton przybywający z danego kierunku zostanie odbity w innym kierunku. Tak jak każda inna gęstość prawdopodobieństwa w dziedzinie sferycznej, ma on jednostki odwrotnego kąta bryłowego.

Geometrycznie możemy przejść do mosiężnych haków i rozebrać to, co dzieje się w całce w równaniu renderowania. Przypomnij sobie, że całka oznacza podział domeny na małe kawałki i zsumowanie całki na wszystkie kawałki (w limicie, gdy kawałki stają się nieskończenie małe). Spójrzmy na jeden taki kawałek. Całka powinna dawać nieskończenie małą ilość blasku , ponieważ zamierzamy zsumować wiele elementów, aby uzyskać skończony blask wychodzący. Tak więc pojedynczy nieskończenie mały fragment całki wygląda następująco:$dL$

Jeśli trochę zgrupujemy czynniki, kombinacja oblicza natężenie napromienienia na powierzchni z powodu światła padającego z nieskończenie małego kąta bryłowego . Ponieważ przybywa z nieskończenie małej bryły, wytwarza nieskończenie małe natężenie napromienienia .$L_\text{incoming} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$d\omega'$$dE$

lub

Tak więc BRDF działa jako stała proporcjonalności między nieskończenie małym natężeniem napływającym na powierzchnię z nieskończenie małym kątem bryły, a wygenerowanym w ten sposób nieskończenie małym promieniowaniem wychodzącym. Nie może to być stosunek promieni, ponieważ mamy skończony blask przychodzący i potrzebujemy nieskończenie małego blasku wychodzącego, jeśli chcemy zsumować wiele kawałków całki i uzyskać skończony wynik. Aby tak się stało, BRDF musiałby mieć nieskończenie małą wartość, co ... w standardowej matematyce nie jest rzeczą. :)

Mam nadzieję, że część z tego pomoże. Istnieje wiele równoważnych sposobów spojrzenia na ten problem, tak jak w przypadku tak wielu rzeczy z matematyki i fizyki.