Czy istnieje algebraiczna charakterystyka liczby słów o danej długości w zwykłym języku?
Wikipedia podaje wynik nieco nieprecyzyjnie:
Dla każdego języka regularnego istnieje stałych i wielomiany tak, że dla każdego numer z słowa o długości w spełnia równanie .
Nie jest określone, w jakiej przestrzeni żyje ( , jak przypuszczam) i czy funkcja musi mieć nieujemne wartości całkowite w całym . Chciałbym uzyskać dokładne oświadczenie oraz szkic lub odniesienie do dowodu.
Pytanie dodatkowe: czy jest odwrotnie, tzn. Biorąc pod uwagę funkcję tej formy, czy zawsze istnieje język regularny, którego liczba słów na długość jest równa tej funkcji?
To pytanie uogólnia Liczba słów w zwykłym języku
formal-languages
regular-languages
word-combinatorics
Gilles „SO- przestań być zły”
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Biorąc pod uwagę zwykły język , rozważ niektóre DFA akceptujące , niech będzie jego macierzą transferu ( to liczba krawędzi prowadzących od stanu do stanu ), niech będzie wektorem charakterystycznym stanu początkowego i niech będzie charakterystycznym wektorem stanów akceptujących. Następnie L A A i j i j x y s L ( n ) = x T A n y .L. L. ZA ZAI j ja jot x y
Twierdzenie Jordana stwierdza, że nad liczbami zespolonymi jest podobny do macierzy z blokami jednej z form Jeśli , to moce tych bloków są ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , … λ ≠ 0 n ( λ n ) , ( λ n n λ n - 1ZA
Podsumowując, każdy wpis w ma postać lub o postaci , a my wywnioskujemy, że dla niektórych złożonych i złożonych wielomianów . W szczególności, dla wystarczająco dużych , To jest dokładne określenie wyniku.ZAn ( nk) λn - k [ n = k ]
Możemy kontynuować i uzyskać asymptotyczne informacje o , ale jest to zaskakująco nietrywialne. Jeśli istnieje unikalny największej wielkości, powiedzmy , to Sprawy komplikują się, gdy jest kilka o największej wielkości. Zdarza się, że ich kąt musi być racjonalny (tzn. Do rangi, są korzeniami jedności). Jeśli LCM mianowników wynosi , to asymptotyki będą bardzo zgodne z resztą modulo . W przypadku niektórych z tych reszt wszystkiesL.( n ) λja λ1
źródło
Niech zwykłym językiem iL ⊆ Σ∗
jego funkcja generująca , gdzie a więc .L.n= L ∩ Σn | L.n| = sL.( n )
Wiadomo, że jest racjonalny , tjL ( z)
z wielomianami ; jest to najłatwiejsze do przełożenia na przekształcenie gramatyki prostoliniowej dla na układ równań (liniowy!), którego rozwiązaniem jest .P., Q L. L ( z)
Korzenie są zasadniczo odpowiedzialne za, co prowadzi do formularza podanego na Wikipedii. Jest to bezpośrednio związane z metodą charakterystycznych wielomianów do rozwiązywania nawrotów (poprzez wzorzec, który opisuje ).Q | L.n| ( | Ln| )n ∈ N
źródło