Ocena rachunku lambda z udziałem cyfr kościelnych

Rozumiem, że liczba kościelna wygląda jak (... n razy ...) . Oznacza to nie więcej, niż „funkcja stosowanych razy do funkcji ”. λ s . λ z . s $c_n$$\lambda s. \lambda z. s$s n $s\;z$$s$$n$$z$

Możliwa definicja funkcji jest następująca: . Patrząc na ciało, rozumiem logikę tej funkcji. Jednak, kiedy zaczynam oceniać, utknąłem. Zilustruję to przykładem:t i m e s = λ m . λ n . λ s . $\mathtt{times}$$\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

$$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$$

Teraz w tej sytuacji, jeśli najpierw zastosuję $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$ , osiągnę pożądany rezultat. Jeśli jednak najpierw zastosuję $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$ , jak powinienem, ponieważ aplikacja jest skojarzona z lewej strony, otrzymuję zły wynik:

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

Nie mogę tego dłużej zmniejszać. Co ja robię źle? Wynik powinien być $\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

Myślę, że twoja redukcja jest prawidłowa (chociaż tylko ją spojrzałem). Na koniec nie możesz zastosować do , to nigdy nie pojawia się w tym terminie. to , nie . Funkcje w rachunku lambda przyjmują jeden argument; są one efektywnie curry : funkcja dwuargumentowa jest implementowana jako funkcja jednoargumentowa, która przyjmuje pierwszy argument i zwraca nową funkcję jednoargumentową, która przyjmuje drugi argument i zwraca wynik.oo λ oo . f f z λ z . ( f f ) z λ z . f ( f z $(\lambda z. s s s z)$$z$$\lambda z. f f z$$\lambda z. (f f) z$$\lambda z. f (f z)$

Popełniłeś ten sam błąd podczas definiowania cyfr Kościoła. Cyfra Kościoła dla opiera się na skomponowaniu funkcji razy. „Funkcja zastosowane razy do funkcji ” . Co napisałeś jest funkcja zastosowane razy do funkcji i wreszcie do , co nie wydaje mi się użytecznym okresie.n s n z λ s . λ z . s ( s ( … $n$$n$$s$$n$$z$s n - 1 s $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$$s$$n-1$$s$$z$

$2 \times 3$ jest zatem . Pozwolę ci sprawdzić, czy to redukuje do .$(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$$\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$