Czy istnieje związek między problemem zatrzymania a entropią termodynamiczną?

31

Alan Turing zaproponował model maszyny (Maszyna Turinga, TM), który oblicza (liczby, funkcje itp.) I udowodnił twierdzenie Haltinga .

TM to abstrakcyjna koncepcja maszyny (lub silnika, jeśli chcesz). Twierdzenie Haltinga jest wynikiem niemożliwości. Silnik Carnota (CE) to abstrakcyjna koncepcja silnika cieplnego, a Carnot udowodnił twierdzenie Carnota , kolejny wynik niemożliwości związany z entropią termodynamiczną.

Biorąc pod uwagę, że TM jest fizycznie możliwa do zrealizowania (przynajmniej tyle co CE, a może nie?), Czy istnieje mapowanie lub reprezentacja lub „izomorfizm” TM lub CE, który mógłby pozwolić na ujednolicenie tych wyników i dodatkowo połączyć się z entropią?

Istnieją oczywiście sformułowania TM i twierdzenia Haltinga w kategoriach algorytmicznej teorii informacji (np. Chaitin, Kołmogorow itp.) I entropii (w tym kontekście). Pytanie dotyczy bardziej fizycznej koncepcji entropii (jeśli w trakcie potencjalnej odpowiedzi pojawi się entropia algorytmiczna, jest w porządku, ale nie o to dokładnie pyta pytanie).

W fizyce można także sprawdzić inne pytanie, które wiąże niepewność kwantową z drugą zasadą termodynamiki. Zobacz także: algebraiczna charakterystyka entropii , algorytmiczna charakterystyka entropii , przegląd i powiązania między różnymi sformułowaniami entropii

Nikos M.
źródło
1
istnieje jeden sens, w którym przedstawione pojęcia są dokładnie przeciwne . prawa teormodynamiczne dotyczące wzrostu entropii wykluczają maszynę perpetuum mobile . maszyna bez wdechu jest maszyną do perpetuum mobile .
vzn
tak, rozumiem, ponownie rzucając warunek no-stop jako perpetuum mobile (drugiego rodzaju?), jest to dokładnie w duchu pytania, ale czy to właśnie mówi to twierdzenie o zatrzymaniu? Stwierdza, że ​​nie wiemy, czy się zatrzyma, czy nie, z powodu „okrągłości”, miło
Nikos M.
Propozycja dodania „termodynamiki” i / lub „termodynamiki-obliczeń” jako nowych znaczników w CS.se? nie jestem pewien, czy dam radę (prawdopodobnie), ale posłuchajmy innych opinii
Nikos M.

Odpowiedzi:

11

W ogóle nie jestem ekspertem w tej dziedzinie, ale wierzę, że będziecie zainteresowani komputerami odwracalnymi . Obejmuje to między innymi badanie związku między procesami fizycznie odwracalnymi a procesami logicznie odwracalnymi. Myślę, że sprawiedliwie byłoby powiedzieć, że „założycielami” tej dziedziny byli / są Ralph Landauer i Charles H Bennett (myślę, że obaj badacze IBM).

Dotyka obliczeń kwantowych i teorii informacji kwantowej, ale bada także pytania typu „jakie są granice obliczeń pod względem czasu, przestrzeni i energii?” Wiadomo (o ile dobrze pamiętam), że można sprawić, by energia wymagana do wykonania odwracalnego obliczenia dowolnie mała, powodując, że zajmie to arbitralnie długi czas. Oznacza to, że energia czas (= akcja ) wymagana do wykonania odwracalnego obliczenia może być stała. Nie dotyczy to obliczeń nieodwracalnych.×

Wiele osób studiujących w tym obszarze pracuje również nad obliczeniami kwantowymi i fizyką cyfrową (idea, że ​​wszechświat jest dużym automatem kwantowym). Nazwane imiona badaczy to Ed Fredkin , Tommaso Toffoli i Norm Margolus .

Te pytania są absolutnie na temacie dla informatyki. Nie tylko dla teorii (która obejmuje zarówno fajną matematykę, jak i fajną fizykę), ale także dla inżynierów, którzy chcą poznać ostateczne granice obliczeń. Czy wymagana jest minimalna objętość lub energia do przechowywania odrobiny informacji? Działania wymagane do wykonywania odwracalny obliczeń może być stała, ale istnieją ograniczenia na co to jest stała? To kluczowa wiedza dla inżynierów próbujących przekroczyć granice możliwości.

Wędrująca logika
źródło
Tak, istnieje związek z termodynamiką obliczeń (Bennett, Landauer i in.), Ale wymaga więcej w związku z twierdzeniem Haltinga i / lub mapowaniem między TM i CE (jak w pytaniu), ale ładna odpowiedź
Nikos M.
1
Ach, masz rację. Głosuję za odpowiedzią. Komentarze pod twoim pytaniem, mówiąc, że to nie jest temat, sprawiły, że zobaczyłem czerwony, a ja głównie na to odpowiedziałem. W odpowiedzi na twoje prawdziwe pytanie: spójrz na tezę Turinga. Zakładając, że w to wierzysz, a także że matematyka może modelować wszystko w naturze, to problem zatrzymania jest twierdzeniem o fizycznej niemożliwości.
Wandering Logic
Myślę, że Hipoteza Churcha-Turinga, że obliczenia fizyczne jest skuteczna obliczeń może być konieczne rzeczywiście przyjrzeć się tej pracy również
Nikos M.
5

Nie jestem zaznajomiony z Twierdzeniem Carnota, z wyjątkiem tego, co właśnie przeczytałem w Wikipedii, ale nawet z tego pobieżnego wprowadzenia istnieje związek w strukturze dowodów, co może być dla ciebie interesujące, ponieważ jest to technika dowodu ma to zastosowanie w wielu domenach.

Oba są dowodami sprzeczności, w których można wykazać, że żadna rzecz w danej klasie nie ma jakiejś własności, można przypuszczać, że jakaś instancja faktycznie ma tę właściwość, a następnie pokazać, że pojawia się sprzeczność.

Problem zatrzymania jest interesujący, ponieważ sprzeczność wynika z pewnej interakcji między sobą w odniesieniu do konkretnej instancji (która jest maszyną M, która może ustalić, czy dowolna maszyna zatrzyma się z danym wejściem). W szczególności konstruujesz nową maszynę, która zawiera M jako komponent, a następnie podajesz nową maszynę do M.

Ktoś z większą wiedzą na temat twierdzenia Carnota mógłby go rozwinąć (do czego nie jestem uprawniony), ale wydaje się, że sprzeczność wynika z rodzaju silnika cieplnego, który można zbudować, gdybyś miał instancję z posiadaną własnością.

Oba przypadki dotyczą budowy:

  • Załóżmy, że niektóre X ma właściwość P.
    • Od X, zbuduj powiązane Y.
    • Relacje między X i Y są sprzeczne.
  • Dlatego żaden X nie ma właściwości P.

Wydaje się jednak, że istnieje różnica w tym, że sprzeczność w przypadku twierdzenia Haltinga jest czystą logiczną sprzecznością i byłaby sprzeczna w każdym układzie logiki klasycznej. Twierdzenie Carnota, jak rozumiem, jest tylko sprzeczne w odniesieniu do drugiej zasady termodynamiki. Z logicznego punktu widzenia jest to aksjomat, więc gdyby przyjąć inną aksjatyzację, w której nie obowiązywało drugie prawo termodynamiki, twierdzenie Carnota nie byłoby twierdzeniem, ponieważ sprzeczność nie istniałaby. (Jak wyglądałoby sformalizowanie termodynamiki bez drugiego prawa jest rodzajem pytania, które doprowadziło geometry do geometrii innej niż euklidesowa.)

Joshua Taylor
źródło
ten artykuł zawiera wiele wskazówek we wspomnianym kierunku, imo. Uważam również, że bardzo istotna jest kołowość (lub przekątna) argumentów. Istnieją kierunki badań, które łączą nieodwracalne transformacje logiczne z nieodwracalnymi procesami termodynamicznymi (np. Zasada Landauera i jej zastrzeżenia). Istnieją zastrzeżenia do niektórych stwierdzeń 2. Prawa, ale można znaleźć sformułowania, które wciąż się utrzymują (np. Prace Prigogine)
Nikos M.
Aby dowiedzieć się, jak to połączenie może powstać, zobacz także komentarze do poprzedniej odpowiedzi (tylko w celach wiarygodności)
Nikos M.
W odniesieniu do innych sformułowań 2. Prawa (nawet bardziej ogólnych i dla procesów nierównowagowych) można sprawdzić stwierdzenie Caratheodory'ego w odniesieniu do Przestrzeni Fazowej i Geometrii, Pracy Prigogina nad układami nierównowagowymi oraz sformułowanie Hatzopoulos-Gyftopoulos-Beretta (z dalszymi powiązaniami z mechanika kwantowa)
Nikos M.
W pewnym sensie tak wiele aspektów entropii jak istnieją aspekty Goedel Twierdzenie (S) (jak w powstrzymania twierdzenia Turinga, Tarskiego undefinability twierdzenie , twierdzenie Rosser za , niekompletność twierdzenie Chaitin za ), nie jest jeszcze dowodem kategoria-teoretyczna „ogólny Twierdzenie Goedela „obejmujące wszystkie poprzednie, oparte na ustalonych punktach
Nikos M.
Nawet jeśli związek między problemem zatrzymania a entropią termodynamiczną zostanie osiągnięty w postaci tego, czy i kiedy obowiązywać będzie prawo 2md , to nadal jest tak dobre, jak to pytanie (związane z zastrzeżeniem, że drugie prawo może być jak Piąty postulat dotyczący podobieństw w geometrii euklidesowej)
Nikos M.
4

IANAfizyk, ale nie widzę żadnego związku. Maszyny Turinga są obiektami czystej matematyki, a nierozstrzygalność problemu zatrzymania jest niezależna od jakiejkolwiek fizycznej realizacji czegokolwiek.

David Richerby
źródło
Rezultaty niemożliwości drugiego prawa mają wiele wspólnego z (matematycznymi) problemami logicznymi i błędami, może to związek?
Nikos M.
1
Musisz podać więcej szczegółów: jak powiedziałem, nie jestem fizykiem. Ale nie rozumiem, w jaki sposób prawa fizyczne mogą mieć jakikolwiek wpływ na konstrukcję, która istnieje niezależnie od rzeczywistości fizycznej.
David Richerby
masz rację, mogę podać wiele przyczyn epistemologicznych, dlaczego jest to bardzo prawdopodobne (np . matematyka, którą wykonujemy, zależy od świata, w którym żyjemy , a-la Einstein), ale chcę czegoś więcej, gdybym miał gotową odpowiedź prawdopodobnie opublikowałby artykuł :)
Nikos M.
2
@vzn Używamy słowa „czas” dla liczby kroków, które maszyna wykonała, i „spacja” dla liczby wykorzystanych komórek taśm, ale te słowa zostały wybrane, aby odwoływać się do naszej fizycznej intuicji jako istot fizycznych. Ale „czas” jest tylko indeksem w sekwencji konfiguracji, a spacja jest tylko indeksem w sekwencji symboli. Rozważmy na przykład maszynę Turinga, w której głowa po prostu śwista w prawo. Wykorzystuje nieskończony „czas” i nieskończoną „przestrzeń”, ale można to zrozumieć w skończonej ilości czasu rzeczywistego i rzeczywistej
David Richerby
2
Jasne, ale fakt, że uważamy maszyny Turinga za interesujące obiekty, może mieć coś wspólnego z fizyką.
Gilles „SO- przestań być zły”
1

to różnorodne pytanie na wiele tematów unf nie ma prostej / łatwej odpowiedzi i dotyczy aktywnych obszarów badań TCS. jednak to rzadkie pytanie dotyczy związku między fizyką a TCS, który interesuje mnie od lat. istnieje kilka różnych kierunków, w których należy przejść. podstawowa odpowiedź jest taka, że ​​jest to „pytanie otwarte”, ale z pewnymi aktywnymi / nowoczesnymi badaniami dotykającymi go i wskazującymi na połączenia.

  • istnieją pewne zaskakujące / głębokie nierozstrzygalne problemy z zaawansowanej fizyki. na przykład z układów dynamicznych. jednakże nie widziałem tego związanego z entropią per se, ale entropia jest powiązana ze wszystkimi układami fizycznymi (np. można to zobaczyć w teorii chemii), więc musi istnieć co najmniej pośredni związek.

  • entropia rzeczywiście pojawia się w CS, ale bardziej w formie teorii informacji i teorii kodowania. narodziny teorii kodowania obejmowały zdefiniowanie / analizę entropii związanej z kodami komunikacyjnymi przez Shannona. wypróbuj tę świetną referencję online Teoria Entropy & Information firmy Gray

  • entropia wiąże się również czasami z pomiarem losowości w PRNG. istnieje związek separacji klas złożoności (np. P =? NP) z PRNG w słynnej pracy „Natural Proofs autorstwa Razborova / Rudicha. trwają badania nad tym tematem.

  • wspominasz o termodynamice i jej połączeniu z TCS. istnieje głęboki związek między namagnesowaniem w szkłach spinowych w fizyce a kompletnymi problemami NP badanymi w punkcie przejścia SAT. tam (ponownie) system fizyczny jest powiązany z entropią, ale prawdopodobnie był badany bardziej w kontekście fizyki niż w kontekście TCS.

vzn
źródło
może
szerzej omówić
patrz także CS
defn
ciekawe jest myślenie „od razu po wyjęciu z pudełka” (przynajmniej czasami). Czy zajrzałeś do pracy Benneta na temat termodynamiki obliczeń? Motywacją tego pytania jest wykazanie, czy twierdzenie o zatrzymaniu można postrzegać jako konsekwencję termodynamiki (z jakimś odpowiednim modelem lub reprezentacją przynajmniej w niektórych przypadkach). myślę, że byłoby naprawdę interesujące, gdyby można to rozwiązać w obu przypadkach
Nikos M.
Większość pojęć „entropii” stosowanych w informatyce odnosi się albo do teorii informacji Shannona, albo do teorii informacji algorytmicznej Kołmogorowa / Chaitina / Solomonowa, która jest już wspomniana w pytaniu i jest bardzo ważna. Jedyne powiązania z entropią termodynamiczną, które znam (które mogą być powiązane z inf. Entropią), to termodynamika obliczeń. Pytanie dotyczy termodynamiki obliczeń, ale w inny sposób
Nikos M.
1

Istnieje prosty problem myślowy, który czasami jest wykorzystywany jako wprowadzenie do niekonwencjonalnych paradygmatów obliczeniowych:

Masz dwie żarówki i odpowiadające im wyłączniki. Ktoś otwiera i zamyka oba światła jeden po drugim. Jak ustalić, który z nich został zamknięty jako pierwszy, a który jako ostatni? Określ minimalną liczbę razy, kiedy będziesz musiał otworzyć światła, aby rozwiązać ten problem.

Większość informatyków zwykle próbuje znaleźć jakieś rozwiązanie oparte na logice boolowskiej. Odpowiedź brzmi (przynajmniej jedna): dotykając żarówek i sprawdzając, która z nich jest cieplejsza.

W informatyce istnieją paradygmaty oparte na cieple: symulowany wyżarzanie jest znanym algorytmem (komputer kwantowy fal D jest kwantowym odpowiednikiem algorytmu).

Czy istnieje związek z problemem Haltinga?

Klasyczne dzieło Chaitina i Calude'a na temat problemu Haltinga za pomocą koncepcji liczb Omega można powiązać z probabilistycznym sformułowaniem problemu Haltinga. Jest to najnowszy traktat na temat problemu, o którym mogę myśleć ... i brak wyraźnego związku z entropią (termodynamiczną). Teraz, jeśli entropia informacji (w sensie Shannona) jest dla ciebie dobra, liczba Omega koduje w najbardziej zwięzły sposób problem Haltinga, w sensie związanym z Shannonem.

Krótko mówiąc, liczba Omega to prawdopodobieństwo, że program losowy zatrzyma się. Znajomość stałej pozwoliłaby na wyliczenie wszystkich prawidłowych stwierdzeń matematycznych (prawd, aksjomatów itp.) I jest nieobliczalna. Calude obliczył wersję Omegi, zmieniając jednolitą miarę prawdopodobieństwa miarą odwrotnie proporcjonalną do losowej długości programu i stosując kodowanie bez prefiksów, więc moglibyśmy mówić o Omegi Chaitina i Omegi Calude'a.

użytkownik13675
źródło
Dobra odpowiedź, część związana z ciepłem żarówek jest wielokrotnie wykorzystywana jako związek między entropią informacji a entropią termodynamiczną (jest to sens sprzeczny z poglądem Jaynesa na subiektywną niepewność). moją własną myślą byłoby oparcie rozumowania na okrągłości obu konstruktów i poprzez (sprytną?) kaskadę jedna z drugą tworzyłaby implikację (przynajmniej w jeden sposób)
Nikos M.
Podobne rozumowanie stosuje się w przypadku akumulatorów (zamiast żarówek) w celu ustalenia, które akumulatory są rozładowane ...
Nikos M.
0

Tak !, o dziwo pomyślałem o tym .. Oto pomysł:

Pierwszy krok

Model Demona Maxwella jako program komputerowy. Zatem, w jaki sposób Demon poznał prędkość i pozycję cząstki, zanim otworzył drzwi do selekcji?

Załóżmy, że demon nie jest w stanie zmierzyć prędkości, z jaką cząstki uderzają w drzwi, dlaczego? ponieważ zmieniłoby to prędkość cząstek, więc demon musi się dowiedzieć, zanim je otworzy, bez patrzenia, bez pomiaru. Aby być uczciwym, z wyprzedzeniem powiadomimy demona o zasadach gry, tj. Nakarmimy demona prawami ruchu, oddziaływaniami cząstek i warunkami początkowymi, dość modelu fizyki / dynamiki.

Drugi krok

Teraz zamodeluj gaz cząstek również jako program komputerowy, który uruchamia ten sam kod podany demonowi dla każdej cząstki, więc gaz oblicza wynik z jego początkowych warunków, Demon nie zna tego wyniku, dopóki się nie zatrzyma (jeśli w ogóle ): mianowicie „cząstka o właściwej prędkości jest u drzwi”, decyzja tak / nie zadajemy systemowi pytanie „Czy cząstka ma odpowiednią pozycję i wystarczającą prędkość?”, jeśli tak, drzwi można otworzyć a szybka cząsteczka może przejść do strony o wysokiej temperaturze w pomieszczeniu, ustanawiając nowe warunki początkowe (czy te kolejne problemy mają odpowiedź? czy będą działać wiecznie?)

Będzie czas, gdy nie będzie cząstki o prędkości wystarczającej do przekroczenia granicy, więc będzie czas, w którym kod będzie działał wiecznie (nie zatrzymuj się) dla prawie dowolnego progu.

Demon chce poznać wynik obliczany przez gaz, ale wynik jest w pewnym sensie potencjalnie zaangażowany w kod źródłowy praw cząstki plus warunki początkowe. Oczywiście musimy uruchomić ten program, aby to wiedzieć. Jeśli Demon uruchomi ten sam program, czekając na odpowiednią prędkość na wyjściu, program może się zatrzymać lub może działać wiecznie (ale przypuszczamy również, że demon nie ma więcej mocy obliczeniowej niż gaz, więc nie będzie mógł zdecydować czas otwarcia drzwi).

Daemon może spróbować dowiedzieć się, jaki jest wynik programu (lub jeśli się zatrzyma), obserwując źródło i dane wejściowe bez uruchamiania go, ale to tak, jakby próbować rozwiązać problem zatrzymania, dlaczego? ponieważ Demon nie wie, jakie prawa i warunki początkowe będą karmione, dlatego Demon powinien być przygotowany do rozwiązania dowolnego zestawu przepisów i warunków początkowych, i wiemy, że ogólnie nie jest to możliwe, będzie potrzebował wyroczni, jeśli mógłby, to będzie wystarczy zbudować demona, aby wytworzyć energię z niczego. (nawet znając prawa i stan początkowy, obie rzeczy są już wystarczająco trudne do poznania)

Ten eksperyment myślowy może powiązać, w jaki sposób ograniczenie entropii za pomocą komputerów może być w jakiś sposób ograniczone przez problem zatrzymania , jako problem do przewidzenia w ogólności wyników.

(Czasami wszystkie limity wydają się być takie same…)

Więcej o prawach cząstkowych

Prawa cząstek nie są głównym zagadnieniem tego eksperymentu myślowego, prawa te mogą być kwantowe lub klasyczne, ale musimy wziąć pod uwagę fakt złożoności praw i warunków początkowych, złożoność układu cząstek nie jest ograniczona i mogłaby mają dużo większą złożoność (w skrajnym przykładzie warunków początkowych można nawet wstawić cały komputer odpalający cząstki zgodnie z wewnętrznym kodem źródłowym i przekazać ten kod demonowi).

Hernan_eche
źródło
1
Nie rozumiem związku z problemem zatrzymania. Po pierwsze, wydaje się, że na nowo zdefiniowałeś, co oznacza zatrzymanie maszyny. Po drugie, wydaje się, że masz tylko jeden program (symulator cząstek gazu). Jest całkowicie możliwe udowodnienie, że jeden ustalony program zatrzymuje się lub nie zatrzymuje, bez naruszania nierozstrzygalności ogólnego problemu zatrzymania.
David Richerby
O zatrzymaniu, nie zdefiniował na nowo zatrzymania, tutaj zatrzymanie programu jest, jak zawsze, gdy program kończy obliczenia i otrzymujesz wyjście, więc tutaj wyjście jest zdefiniowane jako dokładny moment, w którym cząstka o właściwej prędkości uderzyła w drzwi , i możesz zbudować drzwi, które to wykryją, więc zaznaczy, kiedy program się zatrzyma (następnie program uruchomi się ponownie od tych początkowych warunków dla innego wyjścia). Daemon chce wiedzieć, kiedy się zatrzyma, ale nie może wiedzieć, nawet jeśli się zatrzyma.
Hernan_eche
1
Maszyny Turinga nie mogą rozstrzygnąć problemu zatrzymania maszyn Turinga. Wygląda na to, że na nowo zdefiniowałeś problem zatrzymania jako: „Czy jedna z tych cząsteczek gazu ma X?”, Co jest zupełnie innym problemem niż „Czy ta maszyna Turinga zatrzymuje się, gdy zaczyna się od tego wkładu?” Dowód Turinga o nierozstrzygalności problemu zatrzymania maszyny Turinga nie mówi nic o tym, czy maszyna Turinga może obliczyć, czy jakaś cząsteczka gazu kiedykolwiek zrobi X.
David Richerby
Komentarz Davida jest poprawny, ponieważ nie jest bezpośrednio związany z problemem zatrzymania. Jest to jednak argument zgodny z duchem pytania
Nikos M.,
1
@Gilles, dziękuję za odnotowanie, że zgadzam się z tym, w razie potrzeby zostanie utworzony czat. wolałbym jednak pozostawić te komentarze, ponieważ dotyczą one zarówno pytania, jak i konkretnej odpowiedzi (w miarę rozwoju)
Nikos M.
-1

Naprawdę bardzo wciągające pytanie, a przekonamy się, że twoje myślenie jest prawidłowe .

Najpierw zobaczmy, co mówi druga zasada termodynamiki.

Funkcja entropii jest używana w 2. prawie termodynamiki. Wynika to z twierdzenia Carnota, które stwierdza, że ​​procesy zachodzące w maszynach parowych mają wydajność niższą lub co najwyżej równą odpowiedniej „odwracalnej” maszynie (która, nawiasem mówiąc, wydaje się niestabilną koncepcją przez 150 lat termodynamiki). Carnot sam nie wymyślił funkcji entropii, ale razem z Clausiusem tak mówią:

Ponieważ nie ma maszyny wiecznej, możemy zbudować funkcję S zwaną entropią, która ogranicza makroskopowe miary termodynamiczne do pewnego równania, a mianowicie, że S (V, T, P itd.) = 0

Zauważ, że równanie to jest niczym innym jak równaniem hiper-powierzchni w przestrzeni miar termodynamicznych.

Wchodzi do Carathéodory.

Carathéodory jest niemieckim matematykiem i jak wszyscy matematycy chce wyciągnąć z Carnota i Clausiusa uzasadniając pewne aksjomaty, które pozwoliłyby mu wyjaśnić, o czym tak naprawdę jest drugie prawo . Mówiąc wprost, chce oczyścić termodynamikę, aby dokładnie wiedzieć, czym jest entropia.

Po wymienieniu pewnej liczby aksjomatów udaje mu się sformułować JEGO drugie prawo, które mówi (mniej więcej):

Istnieją pewne procesy adiabatyczne. Lub prozaicznie, jeśli chcesz wrócić, czasem praca sama w sobie nie wystarczy. Potrzebujesz trochę ciepła.

Teraz wydaje się to BARDZO różne od sformułowania Clausiusa! Ale tak naprawdę nie jest. Wszystko, co zrobił Carathéodory, polegało na zmianie kolejności słów, trochę jak matematycy grający 5. aksjomatem Euklidesa przez 2000 lat i produkujący wiele różnych sformułowań dla tego aksjomatu. A jeśli cofniesz się o krok, nie powinieneś być zbyt zaskoczony stwierdzeniem Carathéodory'ego o drugim prawie. W rzeczywistości, Carathéodory prowadzi do dokładnie tej samej funkcji entropii i równania hiperpowierzchniowego S (V, T, P itd.) = 0

Zastanów się nad twierdzeniem Carnota. Jako matematyk nie powinieneś być zbyt zadowolony ze sposobu, w jaki Carnot przyznaje, że maszyny perpetuum nie istnieją. W rzeczywistości jako matematyk wolałbyś zobaczyć coś takiego:

Istnieje funkcja entropii S, która ogranicza miary makroskopowe JEŻELI I TYLKO JEŚLI nie ma maszyn perpetuum ".

TERAZ masz twierdzenie. A co to mówi? Że dopóki nie ma izolowanego układu mechanicznego , który wytwarza nieskończoną ilość energii, a zatem może doprowadzić cię do dowolnego pożądanego stanu, znajdziesz funkcję entropii. Izolowane mechaniczny system adiabatyczny proces. Stąd sformułowanie Carathéodory: żaden system adiabatyczny nie doprowadzi cię nigdzie. Czasami potrzebujesz trochę ciepła.

Więc nie tylko jesteśmy pewni, że Carathéodory ma rację, ale także, że jego sformułowanie jest dość proste.

Skąd masz wrażenie, że drugie prawo à la Carathéodory jest podobne do problemu zatrzymania?

Cofnij się o oświadczenie Carathéodory. Wszystko to mówi, że to kiedy masz izolowany układ mechaniczny, z którym przestajesz się mieszać, nie możesz osiągnąć pożądanego stanu.

Czy to nie brzmi PRECYZYJNIE jak problem z zatrzymaniem? To znaczy, kiedy już napiszesz wszystkie aksjomaty swojej teorii i ustalisz wszystkie możliwe przejścia, pojawią się problemy, których nie możesz rozwiązać. Czasami trzeba będzie dodać więcej aksjomatów.

W rzeczywistości, jeśli chcesz naprawdę zagłębić się i zakodować sformułowanie Carathéodory, spowoduje to taki sam kod jak problem zatrzymania procesów adiabatycznych zamiast maszyn Turinga i stanów zamiast problemów.

Co myślisz?

UWAGA: prawie całkowicie zredagowałem swoją odpowiedź, więc poniższe komentarze nie będą zgodne z tym, co teraz zawiera.

Jerome
źródło
1
„Rice stwierdza, że ​​żadna maszyna Turinga nie może w nieskończoność wytwarzać nietrywialnych właściwości”. To nie jest parafraza Ryżu, którą rozpoznaję. Co masz na myśli?
David Richerby,
1
Co rozumiesz przez „nieskończone wytwarzanie nietrywialnej własności”?
David Richerby,
Trochę pokręcone. Rice twierdzi, że nie można udowodnić, że TM implementuje daną funkcję. Teraz, jeśli TM A produkuje w nieskończoność nietrywialną właściwość (N-TP), oznacza to, że wytwarza N-TP dla KAŻDEJ pozycji. Jak to może być prawda w praktyce? Cóż, wydaje się, że jedynym sposobem na to może być wzięcie pod uwagę niezdefiniowanego wpisu e i wykazanie, że jego A (e) ma N-TP. To z kolei oznaczałoby, że udałoby nam się ZAPEWNIĆ, że maszyna produkuje N-TP. I wiemy, że to niemożliwe. W efekcie postuluję, że jest to równoważne z powiedzeniem „A wytwarza N-TP w nieskończoność” i „MOGĘ POKAZAĆ, że A wytwarza N-TP”
Jerome
„Nieskończenie produkuj nietrywialną właściwość” oznacza, że ​​możesz wrzucić do TM nieskończoną liczbę różnych wpisów. Wszystkie wyjścia będą miały NT-P
Jerome
1
DOBRZE. Myślę, że twoja odpowiedź byłaby o wiele jaśniejsza, gdybyś użył standardowych terminów, zamiast wymyślać rzeczy takie jak „nieskończenie produkować nietrywialną właściwość”, co oznacza „być w stanie przetworzyć nieskończoną liczbę danych wejściowych”. Pomógłby również wyjaśnić, który aspekt twojej „prawdziwej” maszyny Turinga nie jest w stanie przetworzyć nieskończonej liczby danych wejściowych. Czy na przykład taśma jest skończona?
David Richerby,