Powrócono do warunków Sums of Landau

Poprosiłem (nasion) pytanie o sumach Landau warunkach przed , próbując ocenić niebezpieczeństwa nadużywania notacji asymptotyka w arytmetyce, z mieszanym powodzeniem.

Teraz, tutaj nasz guru ds. Nawrotów, JeffE , zasadniczo robi to:

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

Chociaż wynik końcowy jest prawidłowy, myślę, że to źle. Dlaczego? Jeśli dodamy całe istnienie stałych implikowanych (tylko górna granica), otrzymamy

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$.

Jak teraz obliczyć $c$ z $c_1, \dots, c_n$ ? Odpowiedź jest, uważam, że nie możemy: $c$ musi wiązany dla wszystkich $n$ ale mamy więcej $c_i$ jak $n$ rośnie. Nic o nich nie wiemy; może bardzo zależeć od , więc nie możemy założyć ograniczenia: skończone może nie istnieć. i $c_i$$i$$c$

Ponadto istnieje subtelna kwestia, która zmienna przechodzi w nieskończoność po lewej stronie - czy ? Obie? Jeśli (ze względu na kompatybilność), jakie jest znaczenie , wiedząc, że ? Czy to oznacza nie tylko ? Jeśli tak, nie możemy powiązać sumy lepiej niż .n n Θ ( 1 / i ) 1 ≤ i ≤ n Θ ( 1 ) Θ ( n $i$$n$$n$$\Theta(1/i)$$1 \leq i \leq n$$\Theta(1)$$\Theta(n)$

Gdzie nas to opuściło? Czy to rażący błąd? Subtelny? Czy jest to tylko zwykłe nadużycie notacji i nie powinniśmy patrzeć znaków podobny do tego z kontekstu? Czy możemy sformułować (rygorystycznie) prawidłową zasadę do oceny (pewnych) sum terminów Landaua?$=$

Myślę, że główne pytanie brzmi: co to jest ? Jeśli uznamy, że jest stała (ponieważ mieści się w zakresie sumy), możemy łatwo zbudować kontrprzykłady. Jeśli to nie jest stałe, nie mam pojęcia, jak to odczytać.$i$

Wygląda mi dobrze w następującej konwencji:

to wygodna notacja dla$S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$

Istnieje (jako x → ∞ ) takie, że$f(x) \in \Theta(1/x)$$x \to \infty$

.$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$

Zatem (lub z notacją w tej odpowiedzi c k ), którą otrzymujesz, tak naprawdę nie są zależne od k .$c_i$$c_k$$k$

Zgodnie z tą interpretacją, prawdą jest, że .$S_n = \Theta(H_n)$

W rzeczywistości, w odpowiedzi Jeffa, pokazuje on, że gdzie f ∈ Θ ( 1 / k ) , więc jest to zgodne z powyższą interpretacją.$T(k+1) = f(k) + T(k)$$f \in \Theta(1/k)$

Zamieszanie wydaje się wynikać z mentalnego „rozwijania” i zakładania różnych funkcji dla każdego wystąpienia Θ ...$\sum$$\Theta$

Myślę, że rozwiązałem problem. Zasadniczo: użycie terminów Landau oddziela zmienną funkcji summand od zmiennej bieżącej sumy. Nadal (chcemy) odczytać je jako identyczne, dlatego zamieszanie.

Aby formalnie go rozwinąć, co robi

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

prawdziwe znaczenie? Teraz zakładam, że te niech ja - nie n - do nieskończoności; jeśli pozwolimy n → ∞ , każda taka suma będzie oceniana na Θ ( n ) (jeśli sumy są niezależne od n, a zatem stałe), co jest wyraźnie błędne. Oto pierwsza gratka, którą mamy do prymitywnych rzeczy: jestem związany (i stały) wewnątrz sumy, ale wciąż pozwalamy jej przejść do nieskończoności?$\Theta$$i$$n$$n \to \infty$$\Theta(n)$$n$$i$

Tłumacząc (dla górnej granicy dolna granica działa podobnie), otrzymujemy$(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

Teraz jest jasne, że podsu- i parameter- i są oddzielone: możemy łatwo zdefiniować f I tak, że oni używają I jako stała. W przykładzie z pytania możemy zdefiniować f i ( j ) = i ⋅ $i$$i$$f_i$$i$i mieć$f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

ale pierwotna suma wyraźnie nie daje wartości czegoś w . Teraz wymiany j na I - co jest tylko zmiana nazwy - w Θ może czuć się dziwnie, bo ja nie jest niezależna od n wzgl. suma, ale jeśli sprzeciwiamy się temu teraz , nigdy nie powinniśmy używać i wewnątrz Θ (ponieważ to ma tę samą dziwność).$\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$$j$$i$$\Theta$$i$$n$$i$$\Theta$

Zauważ, że nawet nie wykorzystać, że może również zależeć od n .$f_i$$n$

Podsumowując, proponowana tożsamość jest fałszywa. Możemy oczywiście uzgodnić konwencje dotyczące sposobu odczytywania takich kwot, jak skrót rygorystycznych obliczeń. Jednak takie konwencje będą niezgodne z definicją terminów Landaua (wraz z ich normalnym nadużywaniem), niemożliwe do prawidłowego zrozumienia bez kontekstu i przynajmniej wprowadzające w błąd (dla początkujących) - ale ostatecznie jest to kwestia gustu (i bezwzględności) ?).

Przyszło mi do głowy, że możemy również napisać dokładnie to , co mamy na myśli i nadal korzystać z wygody warunków Landau. My wiemy , że wszystkie summands pochodzą z jednej wspólnej funkcji, co oznacza, że asymptotyczne granice używać tych samych stałych. Jest to tracone, gdy dodamy do sumy. Więc nie umieszczajmy go tam i nie piszmy$\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

zamiast. Umieszczenie poza sumą powoduje$\Theta$

• stwierdzenie poprawne matematycznie i
• prosty termin wewnątrz na możemy łatwo radzić sobie z (co jest to, co chcemy tutaj, prawda?).$\Theta$

Wydaje mi się więc, że jest to zarówno poprawny, jak i użyteczny sposób spisania sprawy i dlatego powinien być preferowany nad używaniem symboli Landau wewnątrz sumy, gdy mamy na myśli je poza nią.

If each $c_i$ is a constant, then there is some $c_{max}$ such that $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$. So clearly

I think the problem here is that $1/i\not=\Theta(1)$. It's $o(1/n)$ (since there is no $\epsilon$ such that $\forall i: 1/i>\epsilon$), so the overall sum will be $no(1/n)=o(1)$. And each term is $O(1)$, meaning the overall sum is $O(n)$. So no tight bounds can be found from this method.

I think your questions are:

1. Is bounding $\sum_i^n f(i)$ by doing the little o of each term and the big o of each term then multiplying by $n$ acceptable? (Answer: Yes)
2. Is there a better method? (Answer: Not that I know of.)

Hopefully someone else can answer #2 more clearly.

EDIT: Looking over your question again, I think you are asking

$\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$ ?

To which the answer is yes. In this case though, each term is not $\Theta$ of anything, so that approach falls apart.

EDIT 2: You say "consider $c_i=i$, then there is no $c_{max}$". Unequivocally true. If you say that $c_i$ is a non-constant function of $i$, then it is, by definition, non-constant.

Note that if you define it this way, then $c_i i$ is not $\Theta(i)$, it's $\Theta(i^2)$. Indeed, if you define "constant" to mean "any function of $i$", then any two functions of $i$ differ by a "constant"!

Perhaps this is an easier way to think of it: we have the sequence $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$. What's the smallest term in this sequence? Well, it will depend on $n$. So we can't consider the terms as constant.

(Computer scientists are often more familiar with big-O, so it might be more intuitive to ask if $1,\dots,n$ has a constant largest term.)

To provide your proof: let $f(i_{min})$ be the smallest value of $f(i)$ in the range $1,\dots,n$. Then

An analogous proof can be made for the upper bound.

Lastly, you write that $H_n = o(n)$ and as proof give that $H_n = \Theta(\log n)$. This is in fact a counter-proof: if $H_n$ is "bigger" than $n$, then it can't be "smaller" than $\log n$, which is what's required for it to be $\Theta(\log n)$. So it can't be $o(n)$.