Jak pokazać, że „odwrócony” język regularny jest regularny

19

Utknąłem na następujące pytanie:

„Zwykłe języki są dokładnie tymi, które są akceptowane przez automaty skończone. Biorąc pod uwagę ten fakt, pokaż, że jeśli język jest akceptowany przez jakiś automat skończony, wówczas jest również akceptowany przez niektóre skończone; składa się ze wszystkich słów z odwrócone. ”LLRLRL

Kot
źródło
1
Próbowałeś zbudować automat, który akceptuje ? Pomocne może być narysowanie przykładu. LR
Gilles 'SO - przestań być zły'
Dziękuję za odpowiedź. Nie jestem pewien jak to zrobić. Jestem pewien, że jakikolwiek język L ^ R zostałby zaakceptowany przez jakiś język, ponieważ jest zbudowany z tego samego „alfabetu”, a zatem będzie również językiem zwykłym. Nie jestem jednak pewien, jak to udowodnić, ani jak narysować przykład.
Cat
2
Witamy! W przypadku takich podstawowych pytań, które przypominają zadania domowe, podoba nam się, jeśli pytanie zawiera (znaczącą) wcześniejszą pracę pytającego. Z pewnością próbowałeś czegoś, co możesz udostępnić (którego możemy użyć, aby poprowadzić Cię we właściwym kierunku). Jeśli nie, proponuję ponownie sprawdzić definicje i posłuchać rad Gillesa.
Raphael
3
@Victoria „jest skonstruowany z tego samego„ alfabetu ”, więc będzie również językiem zwykłym” - och, nonono. {anbmaon,m,oN} , {anbmann,mN} i {anbnannN} są zdefiniowane w tym samym alfabet, ale dzielą się na bardzo różne klasy językowe.
Raphael
1
Drugie pytanie na końcu rozdziału wymaga ode mnie udowodnienia, że ​​żaden automat skończony nie może zaakceptować wszystkich palindromów w danym alfabecie. Myślę, że dowodem na to jest fakt, że istnieje nieskończona liczba stanów, jeśli rozważamy wszystkie możliwe palindromy (bez ograniczenia długości), podczas gdy maszyna jest maszyną skończoną.
Cat.

Odpowiedzi:

26

Zatem biorąc pod uwagę zwykły język , wiemy (zasadniczo z definicji), że jest akceptowany przez niektóre skończone automaty, więc istnieje skończony zestaw stanów z odpowiednimi przejściami, które przenoszą nas ze stanu początkowego do stanu akceptacji wtedy i tylko wtedy, gdy dane wejściowe jest ciągiem w L . Możemy nawet nalegać, aby istniał tylko jeden stan akceptacji, aby uprościć sprawy. Aby zaakceptować język zwrotny, wszystko, co musimy zrobić, to odwrócić kierunek przejść, zmienić stan początkowy na stan akceptacji i stan akceptacji na stan początkowy. Następnie mamy maszynę, która jest „do tyłu” w porównaniu do oryginału, i akceptuje język L R .LLLR

Luke Mathieson
źródło
Dziękuję bardzo Luke - myślę, że rozumiem, co powiedziałeś. Jesteś na miejscu - nie mam absolutnie żadnego praktycznego doświadczenia ze skończonymi automatami! „Głosowałbym”, ale najwyraźniej nie mam wystarczającej liczby punktów. Przepraszam za to!
Cat
W porządku, powinieneś być w stanie „zaakceptować” odpowiedzi, które ci się podobają (pod przyciskami głosowania powinien znajdować się znacznik wyboru). Również bardziej formalna odpowiedź Saadtaame jest doskonałym krokiem po moim.
Luke Mathieson,
5
Zakładać, że jest tylko jeden akceptując stan my albo musi umożliwić -transitions, lub ε L . Oba nie są prawdziwymi ograniczeniami, wiem, więc odpowiedź jest OK. ϵϵL
Hendrik Jan
1
Tak, pomysł wydaje mi się oczywisty. Trudna część polega na sprawdzeniu, czy ma rację.
Nikt
24

Trzeba pokazać, że zawsze można skonstruować automat skończony akceptujący ciągów w LR podane automat skończony akceptujący ciągów w L . Oto procedura, aby to zrobić.

  1. Odwróć wszystkie linki w automacie
  2. Dodaj nowy stan (nazwij go qs )
  3. Rysować link oznaczony ϵ od stanu qs do każdego stanu końcowego
  4. Zamień wszystkie stany końcowe w stany normalne
  5. Zmień stan początkowy w końcowy
  6. Ustaw qs w stan początkowy

Sformalizujmy to wszystko; zaczynamy od stwierdzenia twierdzenia.

Twierdzenie. Jeśli L jest język regularny, to tak jest LR .

Niech A=(QA,ΣA,δA,qA,FA) będzie NFA i niech L=L(A) . ϵ -NFA R zdefiniowano poniżej przyjmuje język L R .ARLR

  1. AR=(QA{qs},ΣA,δAR,qs,{qA}) iqsQA
  2. pδA(q,a)qδAR(p,a) , gdzieaΣA iq,pQA
  3. ϵclosure(qs)=FA

Dowód. Najpierw dowodzą następujące stwierdzenie: ścieżkę z q na p w A znakowane w wtedy i tylko wtedy, gdy ścieżką od p do q w AR oznaczony wR (Odwrotna w ) do q,pQA . Dowodem jest indukcja na długości w .

  1. Obudowa podstawowa: |w|=1
    Utrzymuje z definicji δAR
  2. Indukcja: załóżmy, że wyrażenie zawiera słowa o długości <n i niech |w|=n i w=xa
    Niech pδA(q,w)=δA(q,xa)
    Wiemy, że δA(q,xa)=pδA(p,a) pδA(q,x)
    x ia są słowami mniejszymi niżn symboli. Zgodnie z hipotezą indukcyjnąpδAR(p,a) iqδAR(p,xR) . Oznacza to, żeqδAR(p,axR)pδA(q,xa).

Letting q=qA and p=s for some sFA and substituting wR for axR guarantees that qδAR(s,wR) sFA. Since there is a path labeled with ϵ from qs to every state in FA (3. in the definition of AR) and a path from every state in FA to the state qA labeled with wR, then there is a path labeled with ϵwR=wR from qs to qA. This proves the theorem.

Notice that this proves that (LR)R=L as well.

Please edit if there are any formatting errors or any flaws in my proof....

saadtaame
źródło
1
What do you mean by ϵclosure(qs)=FA?
user124384
But you can't have ϵ transition in deterministic regular languages can you!?
yukashima huksay
@yukashimahuksay True, but you can also always take a non-deterministic finite automaton and turn it into a deterministic finite automaton. They are equivalent.
Pro Q
12

To add to the automata-based transformations described above, you can also prove that regular languages are closed under reversal by showing how to convert a regular expression for L into a regular expression for LR. To do so, we'll define a function REV on regular expressions that accepts as input a regular expression R for some language L, then produces a regular expression R for the language LR. This is defined inductively on the structure of regular expressions:

  1. REV(ϵ)=ϵ
  2. REV()=
  3. REV(a)=a for any aΣ
  4. REV(R1R2)=REV(R2)REV(R1)
  5. REV(R1|R2)=REV(R1)|REV(R2)
  6. REV(R)=REV(R)
  7. REV((R))=(REV(R))

You can formally prove this construction correct as an exercise.

Hope this helps!

templatetypedef
źródło
Hi! I landed here because I was thinking about the idea of reversed regular expressions, as a way of optimizing a right-anchored match against a string: feed the characters to the reverse automaton, in reverse order. One pass. I wrote down the algebraic properties of regex reversal, and it matches your table almost exactly, even using the rev() notation. :) I also put down REV(R1&R2) = REV(R1)&REV(R2); I have a regex implementation which has intersection. Yes; I'm thinking of adding an operator for reversal perhaps R\r (reverse preceding regex element).
Kaz
Here is a tricky one: what is the algebraic rule for REV(~R): regex negation? REV(~R) is the reverse of the set of all strings outside of R. Is that the same as ~REV(R): the set of all strings outside of the reverse of the set denoted by R? This is not clear at all because any palindromes in R are also in REV(R).
Kaz
1

Using regular expressions, prove that if L is a regular language then the \emph{reversal} of L, LR={wR:wL}, is also regular. In particular, given a regular expression that describes L, show by induction how to convert it into a regular expression that describes LR. Your proof should not make recourse to NFAs.

We will assume that we are given a regular expression that describes L. Let us first look at the concatination operator (), and then we can move onto more advanced operators. So our cases of concatenation deal with the length of what is being concatenated. So first we will break all concatenations from ab to ab. When dealing with these break the components up as much as possible: (aba)b(aba)b, but you cannot break associative order between different comprehensions of course.

When R

When s=ϵ, we have the empty string which is already reversed thus the mechanism does not change

When s is just a letter, as in sΣ, the reversal is just that letter, s

When s=σ, we have a single constituent so we just reverse that constituent and thus σR

When s=(σ0σ1...σk1σk) where k is odd, we have a regular expression which can be written as (σ0σ1...σk1σk). The reversal of these even length strings is simple. Merely switch the 0 index with the k index. Then Switch the 1 index with k-1 index. Continue till the each element was switched once. Thus the last element is now the first in the reg ex, and the first is the last. The second to last is the second and the second is the second to last. Thus we have a reversed reg ex which will accept the reversed string (first letter is the last etc.) And of course we reverse each constituent. Thus we would get (σkRσk1R...σ1Rσ0R)

When s=(σ0σ1...σk/2...σk1σk) where k is even, we have a regular expression generally which can be written as (σ0σ1...σk1σk). The reversal of these even length strings is simple. Merely switch the 0 index with the k index. Then Switch the 1 index with k-1 index. Continue till the each element was switched once, but the k/2 element (an integer because k is even). Thus the last element is now the first in the reg ex, and the first is the last. The second to last is the second and the second is the second to last. Thus we have a reversed reg ex which will accept the reversed string (first letter is the last etc.). And that middle letter. And of course we reverse each constituent. Thus we would get (σkRσk1R...σk/2R...σ1Rσ0R)

Okay the hard part is done. Let us look to the operator. This is merely a union of sets. So given two strings, s1,s2, the reverse of s1s2 is only s1Rs2R. The union will not change. And this makes sense. This will only add strings to a set. It does not matter which order they are added to the set, all that matters is that they are.

The kleene star operator is the same. It is merely adding strings to a set, not telling us how we should construt the string persay. So to reverse a kleene star of a string s, is only ((sR)). Reversal can just move through them.

Thus to reverse this (((ab)(a))((ab)(b)))R we simply follow the rules. To reverse the outer union we simply reverse its two components. To reverse this: ((ab)(a)) kleene star, we simply reverse what is inside it (((ab)(a))R). Then to reverse a concatenation, we index and then switch greatest with least. So we start with ((ab)(a))R and get ((a)R(ab)R). To reverse that single letter, we reach our base case and get (a)R(a). This process outlined above describes an inductive description of this change.

user2524930
źródło