Twierdzenie Galois skutecznie mówi, że nie można wyrazić pierwiastków wielomianu stopnia> = 5 za pomocą racjonalnych funkcji współczynników i rodników - czy nie można tego odczytać, mówiąc, że biorąc pod uwagę wielomian, nie ma deterministycznego algorytmu znajdowania pierwiastków?
Zastanówmy się teraz nad pytaniem o formę: „Biorąc pod uwagę prawdziwy zakorzeniony wielomian a liczba k jest trzecim i czwartym najwyższym pierwiastkiem przynajmniej w odstępie k?”
Świadectwem dowodowym dla tego pytania decyzyjnego będzie po prostu zbiór korzeni tego wielomianu i jest to krótki certyfikat, a zatem wygląda na to, że ALE nie jest twierdzeniem Galois mówiącym, że nie istnieje żaden deterministyczny algorytm do znalezienia certyfikatu dla tej decyzji pytanie? (i ta właściwość, jeśli true wyklucza dowolny algorytm decydujący o odpowiedzi na to pytanie)
Więc w jakiej klasie złożoności leży to pytanie decyzyjne?
We wszystkich pytaniach NP-zupełnych, które widziałem, zawsze dostępny jest trywialny algorytm czasu wykładniczego do ich rozwiązania. Nie wiem, czy oczekuje się, że będzie to właściwość, która zawsze powinna być prawdziwa dla wszystkich pytań NP-zupełnych. W przypadku tego pytania dotyczącego decyzji nie wydaje się to prawdą.
źródło
Odpowiedzi:
Interesujące połączenie, jednak teoria Galoisa stwierdza, że nie istnieje (spójna) metoda znajdowania pierwiastków kwintycznych za pomocą rodników , zamiast stwierdzenia, że problem ma rozwiązanie (np. Najdłuższą ścieżkę), która może wymagać czasu wielomianowego. Powiedziałbym więc, że bardziej dotyczy to nierozstrzygalności niż złożoności.
W teorii Galois stopniowo buduje się rozszerzenia grup pierwiastków równania krok po kroku (dodając jeden pierwiastek na raz). Wszystkie te grupy powinny być rozwiązywalne, w pewnym sensie nie powinno być dwuznaczności w procesie konstruowania tych rozszerzeń w innej kolejności. Istnieje pokrewne pytanie dotyczące MO dotyczące złożoności konstruowania grupy Galois równania .
Kolejne odniesienie tutaj: „OBLICZENIOWA TEORIA GALOISÓW: ODMIANOWI I WYLICZENIA ”, CLAUS FIEKER JURGEN KLUNERSQ
Ponadto można systematycznie przedstawiać pierwiastki wielomianowej równania za pomocą rodników (gdy równanie można rozwiązać za pomocą rodników) w oparciu o konstrukcję grupy Galois równania. Ref: „Radykalna reprezentacja wielomianowych korzeni”, Hirokazu Anai Kazuhiro Yokoyama 2002
Złożoność obliczeniowa określenia, czy dana monic nierozkładalny wielomian przez liczby całkowite , jest rozpuszczalny rodnikami w Ref „wypłacalność przez rodników w czasie wielomianowym” S. Miller 1984 Landau GLZ P
Ankieta dotycząca najnowszych „technik obliczania grup Galois”, Alexander Hulpke
Oczywiście, jeśli ktoś szuka dobrych algorytmów aproksymacyjnych i ich złożoności (np. Metoda Newtona lub twierdzenie Sturma), jest to nieco inne pytanie, a już opublikowana odpowiedź dostarcza więcej informacji w tym kierunku.
źródło
Zakładam, że rozważasz wielomiany ze współczynnikami całkowitymi .
Podjąłeś zły punkt wyjścia dla swoich dochodzeń; Twoim celem jest znalezienie dobrych oszacowań dla prawdziwych korzeni. Poszukiwanie formuły algebraicznej umożliwiającej jej ocenę z wystarczającą precyzją to coś, co możesz zrobić, ale tak naprawdę nie jest to właściwe. (chyba że
k
„jeden z największych rzeczywistych pierwiastków wielomianu” jest jedną z operacji algebraicznych)Znacznie lepszym punktem wyjścia jest użycie twierdzenia Sturma do wyodrębnienia pierwiastków wielomianu. Następnie możesz tworzyć lepsze oszacowania za pomocą wyszukiwania binarnego, ale jeśli jest to zbyt wolne, możesz użyć metody Newtona, aby szybko uzyskać oszacowania o wysokiej precyzji.
Ale chodzi tylko o znalezienie certyfikatów. Wciąż pozostaje pytanie, jakie certyfikaty mogą istnieć.
Po pierwsze, zaznaczę, że możesz bezpośrednio obliczyć, czy dwa z pierwiastków są dokładnie jednostek od siebie, np. . Będziesz także musiał zdecydować, co chcesz zrobić z powtarzającymi się korzeniami i odpowiednio sobie z tym poradzić. Zakładam, że zajmujesz się tymi sprawami specjalnie.gcd ( p ( x ) , p ( x - k ) )k gcd(p(x),p(x−k))
Jeśli wiemy, że dwa pierwiastki nie różnią się dokładnie od siebie w jednostkach , oznacza to, że możesz uzyskać oszacowanie o wystarczającej precyzji, aby udowodnić, że są one większe lub mniejsze niż jednostek od siebie. np. istnieją dwa rodzaje certyfikatów:kk k
Pierwszy rodzaj (dowód negatywny) to
Drugi rodzaj (dowód pozytywny) to
Certyfikat można zweryfikować za pomocą twierdzenia Sturma. Teraz Twoje pytanie o wielkości świadectwa sprowadza się do stwierdzenia, ile bitów precyzji trzeba reprezentować .a
Innymi słowy, jakie są granice możliwych wartości , gdzie są pierwiastkami ?a , b fa−b−k a,b f
Nie jestem pewien doskonałego podejścia, ale jednym, który powinien ci coś dać, jest zaobserwowanie, że wszystkie te wartości są pierwiastkami wielomianu:
Dlaczego? Przypomnijmy, że wypadkowa dwóch monomicznych wielomianów jest iloczynem wszystkich różnic ich korzeni, więc
gdzie jest współczynnikiem wiodącym, a jest stopniem . (może napisałem formułę dla zamiast ; nigdy nie jestem pewien co do znaku)c d f −g(x) g(x)
Zatem pytanie polega na znalezieniu szacunków dotyczących tego, jak duże mogą być współczynniki , a następnie, gdy się o tym dowiesz, znajdź oszacowania, jak blisko pierwiastka może być zero.g g
(lub, alternatywnie, znajdź największą wielkość, jaką może mieć pierwiastek odwrotnego wielomianu ; pierwiastki odwrotnego wielomianu są odwrotnością pierwiastków )g g
źródło
Postaram się odpowiedzieć na pytania w większości otwarte. dowód galois znany obecnie jako Thom Abla-Ruffiniego pokazuje niemożność rozwiązania wielomianów kwintyce. (w przeciwieństwie do np. równania kwadratowego). więc nie jest to tak naprawdę wynikiem twardości problemu jako takiego, ale raczej niemożliwością . w tym sensie jest bardziej analogiczny do np. dowodu nierozstrzygalności problemu zatrzymania. teoria złożoności dotyczy ogólnie „kosztów” rozwiązań komputerowych. taki jest punkt widzenia dwóch wiodących badaczy CS w części wstępnej tego artykułu ( Obliczalność i złożoność / Kleinberg i Papadimitriou), rozdział 1 Poszukiwanie kwintycznej formuły:
źródło