Dlaczego A oznacza, że ​​B jest prawdziwe, jeśli A jest fałszywe, a B jest fałszywe?

Wydaje mi się, że „implikacja” w języku angielskim nie oznacza tego samego, co operator logiczny „implikuje”, podobnie jak słowo „LUB” w większości przypadków oznacza „Wyłączne OR” w naszym codziennym użyciu języka.

Weźmy dwa przykłady:

Jeśli dzisiaj jest poniedziałek, jutro jest wtorek.

To prawda .

Ale jeśli powiemy:

Jeśli słońce jest zielone, to trawa jest zielona.

Jest to również uważane za prawdziwe. Czemu? Jaka jest za tym logika w naturalnym języku angielskim? Rozwala mi mózg.

Ludzie są źli w logice, dopóki nie będą musieli jej użyć, aby zrozumieć ludzkie sprawy. Pomyśl o „ jeśli to $A$$B$ ” jako o obietnicy: „Obiecuję ci, że jeśli zrobisz , zrobię B ”. Taka obietnica mówi nic na temat tego, co może zrobić, jeśli nie uda się zrobić A . Tak czy inaczej, mógłbym zrobić B i to nie uczyniłoby mnie kłamcą.$A$$B$$A$$B$

Załóżmy na przykład, że twoja matka mówi ci:

Jeśli posprzątasz swój pokój, zrobię naleśniki.

Powiedzmy, że nie posprzątałeś pokoju, ale kiedy wszedłeś do kuchni, mama robiła naleśniki. Zadaj sobie pytanie, czy to czyni twoją matkę kłamcą. To nie! Byłaby kłamcą tylko wtedy, gdybyś posprzątała pokój, ale odmówiła robienia naleśników. Mogą istnieć inne powody, dla których postanowiła zrobić naleśniki (być może twoja siostra posprzątała swój pokój). Twoja mama nie powiedziała ci: „Jeśli nie posprzątasz pokoju, nie zrobię naleśników”, prawda?

Więc jeśli powiem

„Jeśli słońce jest zielone, to trawa jest zielona”.

to nie czyni mnie kłamcą. Słońce nie jest zielone (nie posprzątałeś pokoju), ale trawa i tak okazała się zielona (ale twoja mama i tak robiła naleśniki).

To konwencja - moglibyśmy użyć innej, ale ta jest wygodna. Oto, co mówi Terence Tao :

Jest to omówione w załączniku A.2 do mojej książki [Analiza 1]. Pojęcie implikacji stosowane w matematyce to implikacja materialna, która w szczególności przypisuje prawdziwą wartość każdej pustej implikacji. Można oczywiście zastosować inną konwencję w odniesieniu do pojęcia implikacji, jednak implikacja materialna jest bardzo przydatna w celu udowodnienia twierdzeń matematycznych, ponieważ pozwala ona zastosować implikacje takie jak „jeśli A, to B” bez konieczności wcześniejszego sprawdzenia, czy A jest prawdą czy nie. Implikacja materialna spełnia również szereg użytecznych właściwości, takich jak specjalizacja: jeśli na przykład wiadomo dla każdego x, że P (x) implikuje Q (x), to można specjalizować to do określonej wartości $x$, powiedz 3, i wyciągnij wniosek, że P (3) implikuje Q (3). Zauważ jednak, że w ten sposób niepotrzebna implikacja może stać się pustą implikacją. Na przykład wiemy, że oznacza x 2 ≥ 25 dla dowolnej liczby rzeczywistej x ; specjalizując się w rzeczywistej liczbie 3, uzyskujemy próżną implikację, że 3 ≥ 5 implikuje 3 2 ≥ 25 .$x \geq 5$$x^2 \geq 25$$x$$3 \geq 5$$3^2 \geq 25$

Sposób, w jaki lubię myśleć o implikacjach materialnych, jest następujący: twierdzenie, że A implikuje B, mówi tylko, że „B jest co najmniej tak samo prawdziwe jak A”. W szczególności, jeśli A jest prawdziwe, to B również musi być prawdziwe; ale jeśli A jest fałszem, to implikacja materialna pozwala B być prawdą lub fałszem, a więc implikacja jest prawdziwa, bez względu na to, jaka jest prawidłowa wartość B.

„A implikuje B” oznacza (krótko) „jeśli A jest prawdą, to B jest prawdą”.

Oznacza to (nieco dłużej) „jeśli A jest prawdą, to twierdzę, że B jest prawdą; jeśli A jest fałszem, nie twierdzę nic o B”.

Teraz weź „Jeśli słońce jest zielone, to trawa jest zielona”.

W długiej formie jest tłumaczone na „Jeśli słońce jest zielone, to twierdzę, że trawa jest zielona; jeśli słońce nie jest zielone, nie twierdzę, że kolor trawy jest jakikolwiek”. Słońce nie jest zielone, więc nie przejmuję się kolorem trawy.

Weźmy przykład. Załóżmy, że chcemy wyrazić, że jest jedynym elementem zbioru S , że nieruchomość spełnia P . Następnie możemy napisać ∀ x ∈ S.$a$$S$$P$ Oznacza to, że każdy element x spełniający P musi być równy a . To nie ma nic na temat elementów niespełniających zastrzeżenia P . Jeśli b nie spełnia P i różni się od a, to P ( b ) jest fałszem, a b = a jest fałszem, więc P ( b ) ⇒ b = a jest prawdą, tak jak w twoim przykładzie.

Należy zauważyć, że wiele form logiki nie ma pojęcia chronologii ani przyczynowości. Jeśli coś jest prawdą, to - w swoim kontekście - będzie i pozostanie prawdą na zawsze. Powiedzenie, że X oznacza Y, nie oznacza w żadnym sensie, że X w jakikolwiek sposób spowoduje, że Y będzie prawdziwe. Oznacza to po prostu, że X nie może być prawdą bez Y również, a Y nie może być fałszywe bez X również.

Aby użytecznie opisać związki przyczynowe w prawdziwym świecie, konieczne jest coś poza konstrukcjami stosowanymi w „ponadczasowej” logice. Pojęcie takie jak „W przypadku każdego działania Y, w którym X spowodowałoby, że Y jest uzasadnione, Y należy uznać za uzasadnione” może być przydatne we wszechświecie przyczynowym, nawet jeśli X może być fałszywy, ale operator implikacji całkowicie wysadza w takich przypadkach. Gdyby ktoś powiedział „X oznacza, że ​​Y należy uznać za rozsądne” i okazało się, że X nigdy nie było prawdziwe, oznaczałoby to, że wszystkie działania należy uznać za uzasadnione.

Nie jestem pewien, jakie formy logiki obejmują konstrukcje niezbędne do umożliwienia stwierdzeń dotyczących przyczynowości jednokierunkowej, ale uznanie, że logiczna definicja „implikuje” nie rozpoznaje pojęć czasu i przyczynowości, powinna ułatwić zrozumienie, dlaczego się zachowują w sposób sprzeczny z intuicją.

Podczas używania Implikacji w języku angielskim nie chodzi o rzeczy lub przedmioty, które rozważamy.

$sun$$green$$grass$$green$

Słońce jest tutaj tylko przedmiotem, nie rób z nim żadnych emocjonalnych przywiązań, że słońce nie może być zielone.

$S$$G$$GG$

$->$

To wydaje się mniej mylące niż podczas pisania w języku angielskim.

Aby umieścić swoją głowę we właściwym miejscu dla mojej odpowiedzi, chcę wspomnieć, co lubię nazywać Twierdzeniem Latających Małp, lub co Wikipedia lubi nazywać zasadą eksplozji , która stwierdza:

$2+2=4$ $2+2=5$$4=5$$0=1$$16=25$$1=0$$1=-1$poprzez nadużywanie ukrytego podziału przez zero , ponieważ nie możesz dzielić przez zero, dzięki czemu możesz zrobić wszystko, co chcesz.

$p$$F \rightarrow T$$F \rightarrow F$