Przejściowa redukcja DAG

13

Szukam algorytmu O (V + E) do znajdowania redukcji przechodnich przy danym DAG.

To oznacza usunięcie jak największej liczby krawędzi, abyś mógł dosięgnąć v od ciebie, dla dowolnych v iu nadal możesz sięgnąć po usunięciu krawędzi.

Jeśli jest to standardowy problem, proszę wskazać mi jakieś rozwiązanie modelowe.

Karan
źródło
Nie możesz użyć odnośnika podanego w cytacie z wikipedii?
Hendrik Jan
2
Cóż, algorytm omawiany w Wikipedii działa w (w najlepszym przypadku, tj. W przypadku wykresów acyklicznych) zamiast O ( V + E ) zgodnie z żądaniem. Myślę, że właściwą odpowiedzią jest to, że algorytm, którego obecnie szukasz, może nie istniećO(V×E)O(V+E)
Carlos Linares López
1
Zgodziliśmy się, że nie jest jasne, że to, o co prosisz, istnieje. Istnieje wiele prac, które nie byłyby interesujące, gdyby istniał taki algorytm, na przykład sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9390164O . To powiedziawszy, jeśli możesz sprecyzować swoją motywację, mogą istnieć bardziej konkretne rozwiązania. Na przykład, czy wiesz coś jeszcze na temat wykresu lub czy zadziała? O(n(n+m))
William Macrae,
Gdzieś widziałem problem, ale nie było żadnych dodatkowych informacji, może literówka w tym problemie.
Karan
1
Co jeśli nie topologiczną rodzaju w DAG, ale śledzić osiągalnych wierzchołków za pomocą dzieciom, czyli reachable[v]=vchildrenvreachable[v], następnie zacznij od najnowszego elementu na posortowanym wykresie i usuń nieużywane krawędzie i przejdź w górę, zachowując osiągalną funkcję, daje to maksymalne możliwe krawędzie do usunięcia, ale nie jestem pewien, czy otrzyma maksymalną możliwość (to .O(|E|+|V|)

Odpowiedzi:

8

Możemy rozwiązać ten problem po prostu wykonując DFS z każdego wierzchołka.

  1. Dla każdego wierzchołka uruchom DFS od każdego wierzchołka v w taki sposób, że v jest bezpośrednim potomkiem u , tj. ( u , v ) to krawędź.uGvvu(u,v)
  2. Dla każdego wierzchołka osiągalnego przez DFS z v , usuń krawędź ( u , v ) .vv(u,v)

Ogólna złożoność powyższego jest złożonością działania DFS ', czyli O ( N ( N + M ) ) .NO(N(N+M))

pratyaksh
źródło
1
Zauważ, że asymptotycznie ma to tę samą złożoność co algorytm w artykule na Wikipedii, do którego link znajduje się w samym pytaniu. O(NM)
David Richerby
1
Zgoda. Ponieważ należało udzielić zwięzłej odpowiedzi na to pytanie, przedstawiłem jedną. Ponadto, rozwiązanie jest IMO, mało prawdopodobne. O(N)
pratyaksh
3

O(|E|)

  1. uv
  2. u(v,u)
  3. wuv(v,w)
  4. (v,v)vv

v(v,v)v

O(|E|)

AJed
źródło
1

Lemat: Jeśli istnieje krawędź V -> Y, a Y jest także pośrednim następcą V, (np. V -> W -> + Y), to krawędź V -> Y jest przechodnia i nie jest częścią pierwiastka przechodniego.

Metoda: Śledź przechodnie zamknięcie każdego wierzchołka, pracując od wierzchołka do początkowych wierzchołków w odwrotnej kolejności topologicznej. Zbiór pośrednich następców V jest związkiem przejściowych zamknięć bezpośrednich następców V. Przejściowe zamknięcie V jest związkiem jego pośrednich następców i bezpośrednich następców.

Algorytm:

    Initialise Visited as the empty set.
    For each vertex V of G, 
        Invoke Visit(V).

    Visit(V):
        If V is not in Visited,
            Add V to Visited, 
            Initialise Indirect as the empty set,
            For each edge V -> W in G,
                Invoke Visit(W),
                Add Closure(W) to Indirect.
            Set Closure(V) to Indirect.
            For each edge V -> W in G,
                Add W to Closure(V),
                If W is in the set Indirect,
                    Delete the edge V -> W from G.

Zakłada się, że masz jakiś skuteczny sposób śledzenia zestawów wierzchołków (np. Map bitowych), ale myślę, że to założenie zostało przyjęte również w innych algorytmach O (V + E).

Potencjalnie użytecznym efektem ubocznym jest znalezienie przechodniego zamknięcia każdego wierzchołka G.

DrBD
źródło
Usunąłem odpowiedź opublikowaną na twoim wcześniejszym koncie. Jeśli nadal chcesz połączyć swoje dwa konta, wykonaj czynności opisane w Centrum pomocy . Biorąc to pod uwagę, ponieważ wcześniejsze konto nie ma już żadnej widocznej treści, możesz po prostu trzymać się nowego.
Gilles 'SO - przestań być zły'
0

Rozwiązałem ten sam problem, ale nie był dokładnie taki sam. Poprosiłem o minimalną liczbę krawędzi na wykresie po zmniejszeniu, tak że pierwotnie połączone wierzchołki są nadal połączone i nie są tworzone nowe połączenia. Jak jest jasne, nie mówi się o znalezieniu zredukowanego wykresu, ale o tym, ile jest zbędnych krawędzi. Ten problem można rozwiązać w O (V + E). Link do wyjaśnienia to https://codeforces.com/blog/entry/56326 . Ale myślę, że tak naprawdę wykres będzie miał wysoką złożoność niż O (N)

Kumar Mohit
źródło