Niezależny zestaw na sześciennych grafach bez trójkątów

11

Wiem, że maksymalny niezależny zestaw na sześciennych grafach bez trójkątów jest NP-zupełny.

Czy nadal jest NP-kompletny, jeśli potrzebujemy, aby niezależny zestaw miał dokładnie taką samą wielkość ?|V.|/2)

Zasadniczo YES wystąpienie problemu z niezależnym zestawem na szesnastkowym grafie bez trójkątów musi mieć dokładnie węzły. ŻADNA instancja nie ma niezależnego zestawu rozmiarów mniejszych niż | V | / 2 .|V.|/2)|V.|/2)

Mohammad Al-Turkistany
źródło
cs.stackexchange.com/questions/1176/... mogą być istotne.
Louis,
Jakie są przypadki NIE?
Yuval Filmus,
1
@YuvalFilmus Pyta, czy problemem jest α(sol)=|sol|/2) gdzie jest kolejnością na wykresie. Powinno być możliwe umieszczenie na wykresie niektórych izolowanych wierzchołków w celu zwiększenia liczby niezależności. Mohammad, znasz redukcję? Czy nie jest możliwe dodanie n / 2 - k izolowanych wierzchołków, aby uzyskać pożądaną redukcję? |sol|n/2)-k
Pål GD
Nie, nie mam zniżki.
Mohammad Al-Turkistany,
2
@ PålGD Redukcja nie zadziała, ponieważ zwykły problem dotyczy tego, czy zamiast α ( G ) = k . W rzeczywistości nie jest nawet jasne, że problem dotyczy NP. α(sol)kα(sol)=k
Yuval Filmus,

Odpowiedzi:

7

Zacznijmy od udowodnienia, że maksymalny zbiór niezależny jest od wielkości co najwyżej . Pozwól mi być niezależnym zestawem. Dla każdego wierzchołka v , niech α ( V ) jest szereg jego sąsiadów I . Jeśli α ( v ) 1 , to wiemy, że v I . Ponieważ wykres jest sześcienny, v α ( v ) = 3 | Ja | . Ponieważ α ( v ) |V.|/2)javα(v)jaα(v)1vjavα(v)=3)|ja| , liczba wierzchołków jest taka, że α ( v ) 1 wynosi co najmniej | jaα(v)3α(v)1. Stąd | Ja | | V | / 2 .|ja||ja||V.|/2)

Kiedy możemy mieć równość? Musimy mieć α(v){0,3)} , więc nie dla każdego wierzchołka w wszyscy jej sąsiedzi muszą być w I . Odwrotna jest również prawdą - dla każdego wierzchołka w I wszyscy jej sąsiedzi nie są w I . Innymi słowy, wykres musi być dwustronny. Można to sprawdzić w czasie wielomianowym.jajajaja

Yuval Filmus
źródło
YuvalFilmus Bardzo dziękuję. Czy to daje algorytm wielomianu czasu dla mojego problemu?
Mohammad Al-Turkistany
Myślę, że tak - zgadzasz się?
Yuval Filmus