Wiem, że maksymalny niezależny zestaw na sześciennych grafach bez trójkątów jest NP-zupełny.
Czy nadal jest NP-kompletny, jeśli potrzebujemy, aby niezależny zestaw miał dokładnie taką samą wielkość ?
Zasadniczo YES wystąpienie problemu z niezależnym zestawem na szesnastkowym grafie bez trójkątów musi mieć dokładnie węzły. ŻADNA instancja nie ma niezależnego zestawu rozmiarów mniejszych niż | V | / 2 .
complexity-theory
np-complete
Mohammad Al-Turkistany
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Zacznijmy od udowodnienia, że maksymalny zbiór niezależny jest od wielkości co najwyżej . Pozwól mi być niezależnym zestawem. Dla każdego wierzchołka v , niech α ( V ) jest szereg jego sąsiadów I . Jeśli α ( v ) ≥ 1 , to wiemy, że v ∉ I . Ponieważ wykres jest sześcienny, ∑ v α ( v ) = 3 | Ja | . Ponieważ α ( v ) ≤| V.| / 2 ja v α ( v ) ja α ( v ) ≥ 1 v ∉ I ∑vα ( v ) = 3 | ja| , liczba wierzchołków jest taka, że α ( v ) ≥ 1 wynosi co najmniej | jaα ( v ) ≤ 3 α ( v ) ≥ 1 . Stąd | Ja | ≤ | V | / 2 .| ja| | ja| ≤ | V.| / 2
Kiedy możemy mieć równość? Musimy miećα ( v ) ∈ { 0 , 3 } , więc nie dla każdego wierzchołka w wszyscy jej sąsiedzi muszą być w I . Odwrotna jest również prawdą - dla każdego wierzchołka w I wszyscy jej sąsiedzi nie są w I . Innymi słowy, wykres musi być dwustronny. Można to sprawdzić w czasie wielomianowym.ja ja ja ja
źródło