Na

EDYCJA (autor: Tara B): Nadal byłbym zainteresowany odniesieniem do dowodu na to, ponieważ musiałem to udowodnić na własne potrzeby.

Szukam dowodu Twierdzenia 4, który pojawia się w tym artykule:

Nieskończona hierarchia skrzyżowań języków bezkontekstowych autorstwa Liu i Weinera.

Twierdzenie 4: wymiarową afinicznej kolektor jest do ekspresji w skończonej związek rozdzielaczy afinicznych, z których każdy wymiaru lub mniej.n - $n$$n-1$

1. Czy ktoś zna odniesienie do dowodu?
2. Jeśli rozmaitość jest skończona, a my określamy naturalny porządek na elementach, czy istnieje podobne stwierdzenie pod względem sieci?

Kilka podstaw do zrozumienia twierdzenia:

Definicja: Niech będzie zbiorem liczb wymiernych. Podzbiór jest kolektorem afinicznym, jeśli gdy , i . M ⊆ $\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$x ∈ M y ∈ M λ ∈ $(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Definicja: Mówi się, że kolektor afiniczny jest równoległy do ​​kolektora afinicznego jeśli dla niektórych . M M ′ = M + a a ∈ Q$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Twierdzenie Każdy niepusty afinicznej kolektora jest równoległa do unikalnego podprzestrzeni . To jest podane przez K K K = { x - y : x , y ∈ M $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Definicja: wymiar od niepusty afinicznej kolektora wymiar podprzestrzeni równolegle do niego.

Intuicyjnie twierdzenie mówi, że linia nie jest skończonym ułożeniem punktów, płaszczyzna nie jest skończonym ułożeniem linii itp. Najprostszym dowodem jest na przykład zaobserwowanie, że skończony związek linii ma zerowy obszar, podczas gdy samolot nie.

Mówiąc bardziej konkretnie, zauważ, że wystarczy udowodnić roszczenie do rozmaitości na , przechodząc do ich zamknięć. Rozważmy kolektor afiniczny M ⊆ Q n podany przez zestaw rozwiązań układu liniowego A x = b ; jego zamknięcie będzie dokładnie zbiorem rozwiązań dla tego samego układu w stosunku do R n , a zatem ten krok nie wpływa na wymiar zaangażowanych rozmaitości. Również zamknięcie skończonej jedności równa jest jedności zamknięć.$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

Zauważ teraz, że wymiarowa miara Lebesgue'a rozmaitości wymiaru ≤ d - 1 jest zerowa. Dlatego d- wymiarowa miara Lebesgue'a skończonego związku takich rozmaitości jest wciąż równa zero. Ale d wymiarową środek o d wymiarową kolektora jest nieskończona, a zatem nie jest zerem.$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

Co do twojego drugiego pytania, nie jestem do końca pewien, co masz na myśli. Jednak, jeżeli pole podstawy jest skończony, to każde d wymiarową afinicznej kolektora przez F n zawiera | F | d punktów. Więc przez podobny argument liczenia potrzebujesz przynajmniej | F | d / | F | d - 1 = | F | afiniczne przestrzenie o wymiarze ≤ d - 1 dla pokrycia afinicznej przestrzeni o wymiarze d .$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

Oto dowód bez pomiaru, który działa dla rozmaitości afinicznych nad dowolnym nieskończonym polem (wynik jest fałszywy dla pól skończonych).$\mathbb F$

Przez indukcję będziemy wykazują, że kolektor afinicznej ⊆ F m wymiaru n jest skończoną związek afinicznych rozgałęźnymi wymiar mniejszy niż n .$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

Instrukcja jest jasna dla : punkt nie jest (skończonym) związkiem pustych zbiorów.$n=0$

Załóżmy, że instrukcja zawiera , pokażemy ją dla n + 1 . Niech A = ⋃ i < k A i , gdzie dim ( A ) = n + 1 i dim ( A i ) ≤ n . Rozważ arbitralny podfolder afiniczny B ⊂ A o wymiarze n . Ponieważ B = ⋃ i ( B ∩ A i$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$, hipoteza indukcyjna implikuje, że dla niektórych i < k , tj. B = A i . Ponieważ istnieje tylko k zestawy I i B była arbitralna, wynika, że ma tylko skończenie wiele podrozmaitości wymiaru n . Jednakże, jest to sprzeczność: jeśli naprawimy takiego podrozmaitością B 0 i wektor v równolegle do A , ale nie do B $\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$Istnieje nieskończenie wiele afiniczne podrozmaitości z w postaci B 0 + v , gdzie w ∈ F .$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$