Czy istnieje sposób na zakodowanie wystąpienia Sumy Podzbioru lub Problemu Podziału Liczby, aby (małe) rozwiązanie relacji liczb całkowitych dało odpowiedź? Jeśli nie zdecydowanie, to w pewnym sensie probabilistycznym?
Wiem, że LLL (i być może PSLQ) zostały zastosowane z umiarkowanym sukcesem w rozwiązywaniu problemów sumy częściowej w regionie „niskiej gęstości”, w którym wybrany zakres liczb jest większy niż , ale te metody nie są dobrze skalowane, aby przypadki o większych rozmiarach i negatywnej w regionie „o wysokiej gęstości”, gdy zakres liczb wybranych jest znacznie mniejsza niż 2 N . Tutaj niska gęstość i wysoka gęstość odnosi się do liczby rozwiązań. Region niskiej gęstości odnosi się do niewielu istniejących rozwiązań lub nie ma ich wcale, podczas gdy region wysokiej gęstości odnosi się do regionu z wieloma rozwiązaniami.
W obszarze o wysokiej gęstości LLL znajduje (małe) relacje liczb całkowitych między podanymi instancjami, ale wraz ze wzrostem wielkości instancji prawdopodobieństwo znalezienia relacji, która jest wykonalnym rozwiązaniem problemu sumy podzbioru lub podziału partycji, staje się malejące.
Wykrywanie relacji liczb całkowitych jest wielomianowe w granicach wykładniczej granicy optymalnej, podczas gdy podzbiór Suma i NPP są oczywiście NP-Complete, więc na ogół prawdopodobnie nie jest to możliwe, ale jeśli instancja jest losowana równomiernie losowo, czy może to ułatwić?
Czy też nie powinienem nawet zadawać tego pytania, a zamiast tego pytać, czy istnieje sposób na ograniczenie wykładniczej granicy od optymalnej odpowiedzi zamiast wykładniczego wzrostu obliczeń?
źródło
Odpowiedzi:
Niech m będzie logarytmem największej liczby. Jeśli to można go rozwiązać w czasie wielomianowym za pomocą programowania dynamicznego. Zasadniczo każdy znany algorytm zajmuje co najmniej Ω ( 2 m ) czasu. Nie jest znany algorytm wielomianu czasu, gdy m = ω ( log n ) i m = o ( n )m = O ( logn ) Ω ( 2m) m = ω ( logn ) m = o ( n )
Jednak Flaxman i Przydatek zapewniają algorytm, który rozwiązuje problemy sumy podzbiorów o średniej gęstości w oczekiwanym czasie wielomianowym.
Sprawdź to odniesienie:
Flaxman i Przydatek, Rozwiązywanie problemów sumy podzbiorów średniej gęstości w oczekiwanym czasie wielomianowym
źródło