Biorąc pod uwagę nieukierunkowany i nieważony wykres a jeszcze całkowita k , co jest złożoność obliczeniowa zestawów zliczania wierzchołków S ⊆ V tak, że | S | = k, a podgrupa G ograniczona do zbioru wierzchołków S dopuszcza idealne dopasowanie? Czy złożoność # P jest kompletna? Czy istnieje odniesienie do tego problemu?
Zauważ, że problem jest oczywiście łatwy dla stałego ponieważ wówczas wszystkie podgrupy wielkości można wyliczyć w czasie . Zauważ też, że problem różni się od zliczania liczby idealnych dopasowań. Powodem jest to, że zestaw wierzchołków, który dopuszcza idealne dopasowanie, może mieć wiele idealnych dopasowań.
Inny sposób stwierdzenia problemu jest następujący. Dopasowanie nazywane jest dopasowaniem jeśli pasuje do wierzchołków. Dwa dopasowania i są `` zestawem wierzchołków-niezmiennikiem '', jeśli zbiory wierzchołków pasujące do i nie są identyczne. Chcemy policzyć całkowitą liczbę dopasowań zestawu wierzchołków bez niezmienności .
Odpowiedzi:
Problem jest # P-ukończony. Wynika z ostatniego akapitu strony 2 następującego artykułu:
CJ Colbourn, JS Provan i D. Vertigan, Złożoność obliczania wielomianu Tutte na matroidach poprzecznych, Combinatorica 15 (1995), no. 1, 1–10.
http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/
źródło
Problem przyznaje FPTRAS. Jest to randomizowany algorytm który otrzymuje wykres G , parametr k ∈ N oraz liczby wymierne ϵ > 0 i δ ∈ ( ϵ ) z ] )A G k∈N ϵ>0 jako dane wejściowe 0 , 1 ) . Jeśli z jest liczbązestawów k -vertex, których szukasz, to A wypisuje liczbę z ′ taką, że
P ( z ′ ∈ [ ( 1 - ϵ ) z , ( 1 +δ∈(0,1) z k A z′
i czyni to w czasie F ( k ) ⋅ g ( n , ε - 1 , log δ - 1 ) , gdzie F jest nieco obliczeniowy funkcji i g jest około wielomianu.
Wynika to z Thm. 3.1 w (Jerrum, Meeks 13) : Biorąc pod uwagę właściwośćΦ grafów, istnieje FPTRAS, z takim samym wejściem jak powyżej, który jest zbliżony do wielkości zbioru
pod warunkiem, że Φ jest obliczalny, monotoniczny, a wszystkie jego minimalne krawędzie wykresy mają ograniczoną szerokość. Wszystkie trzy warunki są spełnione, jeśli Φ jest właściwością graficzną dopuszczenia idealnego dopasowania.
źródło