Podstawową właściwością przestrzeni wektorowych jest to, że przestrzeń wektorowa o wymiarze można scharakteryzować liniowo niezależnymi wiązaniami liniowymi - to znaczy istnieją liniowo niezależne wektory , które są prostopadłe do .
Z punktu widzenia Fouriera jest to równoważne ze stwierdzeniem, że funkcja wskaźnik o został liniowo niezależne niezerowe współczynniki Fouriera. Należy zauważyć, że ma w sumie niezerowe współczynniki Fouriera, ale tylko z nich jest liniowo niezależne.
Szukam przybliżonej wersji tej właściwości przestrzeni wektorowych. W szczególności szukam oświadczenia o następującej formie:
Niech będzie rozmiaru . Następnie funkcja wskaźnika ma co najwyżej liniowo niezależne współczynniki Fouriera, których wartość bezwzględna wynosi co najmniej .
To pytanie można rozpatrywać z perspektywy „Struktura vs. losowość” - takie stwierdzenie intuicyjnie mówi, że każdy duży zestaw można rozłożyć na sumę przestrzeni wektorowej i małego zbioru stronniczego. Jest dobrze znane, że każda funkcja można rozłożyć w „liniowej części”, które ma p o, l r ( 1 / ε ) duże współczynniki Fouriera oraz „części pseudolosowego”, który ma małe odchylenie . Moje pytanie dotyczy tego, czy część liniowa ma tylko logarytmiczną liczbę liniowo niezależnych współczynników Fouriera.
Odpowiedzi:
Czy podany poniżej nie jest przykładem?
Niech będzie większością x 1 , … , x 1 / ϵ 2 , co jest wskaźnikiem zbioru wielkości 2 n / 2 , więc d = 1 . Jednakże, f ( { i } ) = Θ ( ε ) dla 1 ≤ i ≤ 1 / ε 2 , więc trzeba 1 / ε 2f(x) x1,…,x1/ϵ2 2n/2 d=1 f^({i})=Θ(ϵ) 1≤i≤1/ϵ2 1/ϵ2 liniowo niezależne duże współczynniki Fouriera.
źródło
Być może chcesz czegoś, co czasami nazywa się „Lemą Changa” lub „Lememą Talagranda” ... zwaną tutaj „Nierównością poziomu 1”: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885
Oznacza to, że jeśli ma średnią 2 - d, to liczba liniowo niezależnych współczynników Fouriera, których kwadrat wynosi co najmniej γ 2 - d, wynosi co najwyżej O ( d / γ 2 ) . (Jest tak, ponieważ transformacja liniowa F 2 na wejściu nie zmienia średniej, więc zawsze możesz przesunąć liniowo niezależne znaki Fouriera do stopnia-1.)1S 2−d γ2−d O(d/γ2) F2
źródło