Czy można udowodnić za pomocą twierdzenia Linial-Mansour-Nisan i znajomości czteroczęściowego spektrum ?

14

Wynik 1: Twierdzenie Linial-Mansour-Nisan mówi, że czteroliniowa waga funkcji obliczonych przez obwody jest skoncentrowana na podzbiorach małych rozmiarów z dużym prawdopodobieństwem.AC0

Wynik 2: ma czterokierunkową wagę skoncentrowaną na współczynniku stopnia .PARITYn

Pytanie: Czy istnieje sposób, aby udowodnić (jeśli można udowodnić), że nie jest obliczalny przez obwody przez / przy użyciu wyników 1 i 2?PARITYAC0

Stattrav
źródło
7
Czy nie jest to oczywiste zastosowanie twierdzenia Linial-Mansour-Nisan? Sposób udowodnienia twierdzenia LMN (w szczególności, czy dowodzi go argument probabilistyczny, czy nie) jest nieistotny.
Tsuyoshi Ito,
3
jednocześnie, czy nie dowodzi się twierdzenia Liniala-Mansoura-Nisana przy założeniu twierdzenia Hastada? Wygląda mi jak pies goniący własny ogon ...
Alessandro Cosentino,
3
W ten sposób dolną granicę wielkości obwodu AC0 zbliżonego do parytetu uzyskuje się w notatkach Ryana O'Donnella . Patrz wniosek 32.
Sasho Nikolov
5
myślę, że bardziej interesujące pytanie znajduje się w twoim komentarzu: czy każda funkcja, której widmo czterokierunkowe koncentruje się na współczynnikach niskiego poziomu obliczalnych przez małe obwody AC0.
Sasho Nikolov,
7
@Strattav Następnie możesz zadać to pytanie.
Tyson Williams,

Odpowiedzi:

11

Twierdzenie LMN pokazuje, że jeśli f jest funkcją logiczną obliczalną przez obwód prądu przemiennego 0 wielkości M,(f:{1,1}n{1,1})AC0

S:|S|>kf^(S)22Ω(k/(logM)d1)

f^([n])22Ω(n/(logM)d1)

|f^([n])|2Ω(n/(logM)d1)

jest niczym innym jak korelacją f z funkcją parzystości ( n i = 1 x i ) . Niech δ być ułamkiem wejściowych, gdzie M różni się od P R I T Y .|f^([n])|(i=1nxi)δfPARITY

12δ|12δ|=|f^([n])|2Ω(n/(logM)d1)δ12Ω(n/(logM)d1)

Tak więc, jeśli M oznacza , na f jest równa P R I T Y ,poly(n)fPARITY

δ12n2n2(cn/(logM)d1)(logM)d1(c1)nM2Ω(n1/d1)

Twierdzenie LMN nie tylko dowodzi, że nie może być obliczone przez obwody A C 0 , ale pokazuje również, że P A R I T Y ma niską korelację z obwodami A C 0 .PARITYAC0PARITYAC0

Tulasi
źródło