Czy wszystkie funkcje, których waga Fouriera jest skoncentrowana na małych zestawach obliczanych przez obwody AC0?

18

Czy wszystkie funkcje, których waga Fouriera jest skoncentrowana na małych zestawach (lub terminach o niskim stopniu), są obliczane przez obwody ?AC0

Stattrav
źródło
To pytanie brzmi interesująco, chociaż brakuje mi trochę tła w analizie Fouriera. Byłbym wdzięczny za odniesienia do literatury pokrewnej.
Markus
5
@ Markus: ta książka 2.0 autorstwa Ryana O'Donnella stanowi doskonałe źródło informacji: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod
Alessandro Cosentino
prawie odwrotnie do Linial, Mansour, Nissan 1993 ? wynik Aaronsona, kontrprzykład na uogólniony Linial-Nissan wydaje się bliski? ale imho muszą być sposobem na uogólnienie wyniku z 1993 roku ... może w wielkim stylu ...
dniu
innym podobnym pomysłem zamiast AC ^ 0, trudniejszym do obalenia, byłoby nieograniczenie głębokości, ale całkowite obwody ograniczone bramą ograniczone przez jakąś „małą” funkcję, powiedzmy wielomian itp.? także afaik związek między obwodami monotonicznymi i współczynnikami Fouriera nie jest tak dobrze znany ...?
vzn
1
patrz także polilogarytmiczni głupcy niezależni obwody AC ^ 0 autorstwa braverman
dniu

Odpowiedzi:

19

Nie. Rozważ następującą funkcję na : f ( x ) = x 0x n - {0,1}n Oczywiście ta funkcja jest trudna dla AC0. Z drugiej strony funkcja jest prawie stała, więc prawie całe jej widmo Fouriera znajduje się na pierwszym poziomie.

f(x)=x0xnn1(xnnxn1).

Jeśli chcesz uzyskać zrównoważony kontrprzykład, rozważ Ta funkcja prawie zawsze jest równax0, więc prawie całe jej widmo Fouriera znajduje się na pierwszych dwóch poziomach.

g(x)=x0[x1xnn1(xnnxn1)].
x0
Yuval Filmus
źródło
3
Czy masz jakieś solidne przykłady, w których funkcji nie można aproksymować w AC0?
MCH
2
Funkcja skoncentrowana na pierwszych poziomach jest zawsze zbliżona do funkcji zależnej od danych wejściowych O ( 1 ) , więc jeśli interesują nas tylko poziomy O ( 1 ) , to nie ma solidnych przykładów. O(1)O(1)O(1)
Yuval Filmus
@YuvalFilmus Co oznacza poziom widma Fouriera? Dlaczego ta funkcja jest trudna dla ? AC0
@Arul Poziom Fouriera składa się ze wszystkich współczynników Fouriera odpowiadających zestawom o danym rozmiarze. Uważamy je za uporządkowane w porządku rosnącym według wielkości. Jeśli chodzi o to, dlaczego ta funkcja jest trudna dla AC0, jest to ćwiczenie. Wskazówka: parzystość jest trudna dla AC0.
Yuval Filmus,
7

Istnieje kilka sposobów, aby zrozumieć pytanie zgodnie z dokładnym znaczeniem „małego rozmiaru” i „koncentracji”.

1o(1)S1o(1)AC0

2) Istnieje twierdzenie Bourgaina, że ​​jeśli stężenie jest znacznie wyższe niż stężenie funkcji większości, wówczas funkcja jest w przybliżeniu Junta, a zatem zależy od zmiennych O (1).

f^2(S)AC0polylog(n)

O(logn)AC0

O(polylog(n))npolylog(n)

Gil Kalai
źródło