Dolna granica wyznacznika i wartości stałej

W świetle niedawnej otchłani na głębokości 3 wynik (który między innymi daje głębokości 3 arytmetyczna obieg donxndeterminant naC) I mają następujące pytania: Grigoriev i Karpińskiokazałosię2omów(n)dolna granica dla każdego arytmetyczna obwodu głębokości-3 obliczeniowej wyznacznikanxnmacierze nad polami skończonymi (które, jak sądzę, dotyczą również Stałych). Wzór Ryserana obliczenie Stałego daje obwód arytmetyczny o głębokości-3 o wielkościO(n22n)=2O$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$ . To pokazuje, że wynik jest zasadniczo ścisły dla obwodów o głębokości 3 dla stałych na polach skończonych. Mam dwa pytania:$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$

1) Czy istnieje wzór na głębokość-3 dla wyznacznika analogiczny do wzoru Rysera na stałe?

2) Czy dolna granica wielkości obwodów arytmetycznych obliczających wielomian determinantowy \ textit {always} daje dolną granicę dla wielomianu stałego? (Powyżej są to te same wielomiany).$\mathbb{F}_2$

Chociaż moje aktualne pytanie dotyczy tych wielomianów na polach skończonych, chciałbym również poznać status tych pytań na polach arbitralnych.

Stałe jest kompletne dla VNP w rzutach p na dowolnym polu nietypowym 2. To daje pozytywną odpowiedź na twoje drugie pytanie. Gdyby ta redukcja była liniowa, dałaby pozytywną odpowiedź na twoje pierwsze pytanie, ale uważam, że pozostaje otwarta.

Bardziej szczegółowo: istnieje pewien wielomian taki, że d e t n ( X ) jest rzutem p e r m q ( n ) ( Y ) , tzn. Istnieje pewna podstawienie wysyłające każdą zmienną y i j albo na zmienną x k ℓ lub stałą taką, że po tym podstawieniu q ( n ) × q ( n ) permanent oblicza $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$ wyznacznik.$n \times n$

1) Tak więc wzór Rysera daje wzór na głębokość 3 (głębokość nie zwiększa się pod rzutami, ponieważ podstawienia można wykonać na bramkach wejściowych) o wielkości dla wyznacznika. AKTUALIZACJA : Jak wskazuje @Ramprasad w komentarzach, daje to coś nietrywialnego tylko wtedy, gdy q ( n ) = o ( n log n ) , ponieważ istnieje trywialna formuła głębokości 2 o wielkości n ⋅ n ! = 2 O ( n log n $2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$dla det. Jestem z Ramprasad w tym, że najlepiej znam redukcję poprzez ABP, która daje .$q(n)=O(n^3)$

2) Jeżeli stałą można obliczyć - ponownie na pewnym polu charakterystyki nie 2 - za pomocą obwodu o wielkości s ( m ) , to wyznacznik n × n można obliczyć za pomocą obwodu o wielkości s ( q ( n ) ) . Tak więc dolna granica b ( n ) na wielkości obwodu dla d e t n daje dolną granicę b ( q - 1 ( n ) ) na wielkości obwodu dla wartości stałej (to jest$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ odwrotna, a nie 1 / q ( n ) ). Wyżej wymieniony q ( n ) = O ( N 3 ) daje b ( n 1 / 3 ), trwała ondulacja dolnej granicy z b ( n ) DET dolna granica.$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Jest bardzo możliwe, że wyznacznik jest w pewnym sensie trudniejszy niż stały. Oba są wielomianami, Ranga Waringa (sumy n mocy form liniowych) stałej wynosi około 4 ^ n, Ranga Chow (suma iloczynów form liniowych) wynosi około 2 ^ n. Oczywiście Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Ranga Chow. Dla wyznacznika liczby te są tylko dolnymi granicami. Z drugiej strony, jakiś czas temu udowodniłem, że ranga Waringa wyznacznika jest ograniczona przez (n + 1)! i to może być bliskie prawdy.