Formuła 3-CNF, która wymaga szerokości rozdzielczości

13

Przypomnijmy, że szerokość o rozdzielczości odrzucenia o wzorze CNF jest maksymalna liczba literałach w klauzuli występującego w . Dla każdego istnieją niezadowalające wzory w 3-CNF st. Każde odrzucenie rozdzielczości wymaga szerokości co najmniej .F.RFw F F wRwFFw

Potrzebuję konkretnego przykładu niezadowalającej formuły w 3-CNF (tak małej i prostej, jak to możliwe), która nie ma obalenia rozdzielczości o szerokości 4.

Jan Johannsen
źródło
Czy potrzebujesz dokładnie szerokości 5 lub co najmniej szerokości 5? W tym drugim przypadku wydaje mi się, że wystarczy kilka losowych klauzul na garstce zmiennych. Jednak niezbyt miły i niezbyt mały.
MassimoLauria,
1
myślę, że względnie proste wyszukiwanie komputerowe / empiryczne mogłoby to znaleźć lub wykluczyć. myślę też, że czai się tutaj bardziej ogólna / interesująca niezbadana teoria. patrz także w dowodach rozdzielczości, czy wszystkie DAG są możliwe? , szukam ponownego otwarcia głosów, jeśli się zgadzasz =) powiązane pytanie: w przypadku formuł -SAT, jaki wymiar (-y) rozdzielczości DAG są możliwe? m×n
dniu
Jan, myślę, że Jacob powinien być w stanie łatwo odpowiedzieć na to pytanie. Nawiasem mówiąc, czy chciałbyś trochę uogólnić pytanie i zapytać o metodę wymyślenia 3-CNF o danej szerokości rozdzielczości?
Kaveh
Massimo, potrzebuję konkretnego przykładu, który mogę zapisać i wyjaśnić na tablicy. Więc losowe klauzule się nie sprawdzą.
Jan Johannsen,
1
Znajduję się teraz w niewłaściwej strefie czasowej, aby móc prawidłowo myśleć, ale może zrobiłaby to formuła Tseitin na naprawdę małym wykresie (w którym można sprawdzić ekspansję ręcznie)? Ale naprawdę potrzebujesz 3-CNF, prawda? W przypadku 4-CNF być może bawiłbym się prostokątną siatką o odpowiednich wymiarach i widziałem, co się stanie. Tylko kilka na wpół upieczonych myśli ...
Jakob Nordstrom

Odpowiedzi:

14

Poniższy przykład pochodzi z pracy, która podaje kombinatoryczną charakterystykę szerokości rozdzielczości przez Atseriasa i Dalmau ( Journal , ECCC , kopia autora ).

Twierdzenie 2 artykułu stwierdza, że ​​biorąc pod uwagę wzór CNF , obalenia rozdzielczości co najwyżej dla są równoważne zwycięskim strategiom dla Spoilera w grze egzystencjalnej . Przypomnijmy, że żwir jest egzystencjalną gra rozgrywa się pomiędzy dwoma konkurującymi podmiotami, zwanych spojler i Powielacz i stanowiska gry są częściowymi przypisania wielkości domeny co najwyżej do zmiennych . W grze -pebble, zaczynając od pustego zadania, Spoiler chce sfałszować klauzulę z , pamiętając co najwyżejk F ( k + 1 )FkF(k+1)F ( k + 1 ) F k + 1k+1F(k+1)Fk+1 wartości logiczne naraz, a Duplicator chce temu zapobiec.

Przykład opiera się na (negacji) szuflady.

Dla każdego i , niech będzie zmienną zdań, co oznacza, że ​​gołąb siedzi w dziurze . Dla każdego i , niech będzie nową zmienną zdań. Poniższy -cnf wzór wyraża to gołębi znajduje się w pewnym otworu: Wreszcie formuła CNNi{1,,n+1}j{1,,n}pi,jiji{1,,n+1}j{0,,n}yi,j3EPii3 E P H P n + 1 n E P i

EPi¬yi,0j=1n(yi,j1pi,j¬yi,j)yi,n.
3EPHPnn+1EPiHki,j¬pi,k¬pj,ki,j{1,,n+1},ijk{1,,n}

nEPHPnn+1EPHPnn+1n1

Artykuł ma inny przykład w Lemat 9, oparty na zasadzie gęstego rzędu liniowego.

Ω(n(k3)/12)k+1

Siuman
źródło
2
EPHP56