Dlaczego przypuszczenie log-rank używa rangi nad rzeczywistością?

W złożoności komunikacyjnej domniemanie log-rank stwierdza, że

Gdzie jest złożoność komunikacji M ( x , y ) , a r k ( M ) jest rangę M (jako matrycy) w liczb rzeczywistych.$cc(M)$$M(x,y)$$rk(M)$$M$

Jednak, gdy jesteś po prostu za pomocą szeregowych metodę dolna granica można użyć r k na każdym polu, które jest wygodne. Dlaczego domniemanie log-rank ogranicza się do rk ponad rzeczywistością? Jest przypuszczenie rozwiązany za r k nad polami charakterystycznych niezerowej? Jeśli nie, to czy jest interesujące, czy jest coś specjalnego w r k nad R ?$cc(M)$$rk$$rk$$rk$$\mathbb{R}$

Hipoteza przejmuje . Spojrzenie M ( x , y ) = ⟨ x , y ⟩ mod 2 , a . Złożoność komunikacji wynosi , ale ranga nad jest , według liniowości iloczynu wewnętrznego.$\mathbb{F}_2$$M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ Ω ( n ) M F 2$x, y \in \{0, 1\}^n$$\Omega(n)$$M$$\mathbb{F}_2$$n$