Motywacja do oszacowania objętości

Jakie są konkretne i przekonujące zastosowania do szacowania objętości wypukłych wielościanów tego rodzaju, rozważanych w nowszych artykułach na temat metod losowego chodzenia?

W tych pracach dotyczących szacowania objętości jako jedną z motywacji wymieniono integrację numeryczną. Jakie są przykłady całek, które ludzie chcą obliczać w praktyce, które są bardzo trudne do obliczenia przy użyciu poprzednich metod? A może jest jakaś inna ważna praktyczna aplikacja do obliczania objętości 1000-wymiarowego politopu?

Oszacowanie objętości wypukłego politopu i ściśle powiązane zadanie próbkowania z niego ma zastosowania w prywatnym udostępnianiu danych.

Z grubsza problem, który chcesz rozwiązać, to: biorąc pod uwagę zbiór zapytań o wartości liczbowej w bazie danych, wymyśl odpowiedzi na te pytania, które są jak najbardziej zbliżone do rzeczywistych odpowiedzi, przy jednoczesnym zachowaniu zróżnicowanej prywatności. W niektórych zakresach parametrów optymalny algorytm rozwiązania tego problemu ma opis geometryczny, a jego wdrożenie obejmuje próbkowanie z wypukłego polytopa. Zobacz tutaj: http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

$s$$s$

W dziedzinie bezpieczeństwa komputerowego w pracy nad przepływem informacji ilościowych zastosowano te metody do oszacowania ilości poufnych informacji, które mogą wyciec przez określony program. Tutaj budujemy wielościan reprezentujący możliwe stany programu w określonym punkcie jego wykonania, a następnie chcemy oszacować coś o liczbie możliwych stanów (jest to związane z ilością uwolnionych informacji). Dlatego w pewnym momencie analizy próbują policzyć liczbę punktów całkowitych zawartych w wielościanie. Pachnie to związane z oszacowaniem objętości (dla mnie).

Oto wczesny artykuł, który jest reprezentatywny:

• Automatyczne wykrywanie i kwantyfikacja wycieków informacji . Michael Backes, Boris Kopf, Andrey Rybalchenko. Bezpieczeństwo i prywatność IEEE 2009.

To powiedziawszy, może nie być dokładnie tym, czego szukasz. Wymaga to metod zliczania liczby punktów całkowitych wewnątrz wielościanu, która nie jest taka sama jak objętość wielościanu. Nie sądzę też, aby musieli analizować wielościany o wymiarze 1000 lub wyższym (choć nie jestem tego pewien).

Hari Narayanan niedawno opublikował artykuł na temat arXiv, w którym wykorzystuje szacowanie objętości wypukłego polytopa, aby udowodnić pewne wyniki dotyczące współczynników Littlewooda-Richardsona (LR). Współczynniki LR są pewnymi liczbami całkowitymi w teorii reprezentacji, które znajdują zastosowanie w teorii złożoności geometrycznej, fizyce cząstek i wielu innych dziedzinach (więcej informacji można znaleźć we wstępie do powyższej pracy). Znów, prawdopodobnie nie dokładnie to, czego chciałeś, ale mimo to ciekawe połączenie.

patrz np .: N-wymiarowe oszacowanie objętości wypukłych ciał: algorytmy i zastosowania Sharmy, Prasanny, Aswal dla przykładu / studium przypadku w prognozowaniu ekonomicznym, tj. zarządzaniu łańcuchem dostaw.

Nasze metody mogą być stosowane do ilościowego określania zawartości informacji i niepewności w regionach z ograniczeniami w solidnych ramach optymalizacji. Pokazujemy zastosowania w zarządzaniu łańcuchem dostaw w warunkach przyszłej niepewności.

w zasadzie chodzi o to, że polytope może modelować „przyszły scenariusz” parametrów konfiguracji zarządzania łańcuchem dostaw. niepewność (lub „error”) w modelu / szacowania jest traktowana jako proporcjonalna do objętości Polytope (S). patrz slajdy 3,4. to pozwala:

• ilościowe oszacowanie niepewności
• generowanie równoważnych informacji
• pomoc w analizie „co jeśli”

$B_n$$n$

Polytopy Birkhoffa, jądra ciepła i złożoność wykresów - Francisco Escolano, Edwin R. Hancock, Miguel A. Lozano, 2008