Czy jest to równoważny warunek dla zestawów algebraicznych?

12

Definicja „zestawu algebraicznego” w ciągłych sieciach i domenach , definicja I-4.2, mówi, że dla wszystkich ,xL

  • zbiór powinien być zbiorem ukierunkowanym, iA(x)=xK(L)
  • .x=(xK(L)

Tutaj jest zbiorem, K ( L ) jest zbiorem zwartych elementów L , a x oznacza { y y x } .LK(L)Lx{yyx}

Byłem trochę zaskoczony pierwszym warunkiem. Łatwo jest argumentować, że jeśli i k 2 są w A ( x ), to k 1k 2 również znajduje się w A ( x ) . Zatem wszystkie niepuste skończone podzbiory A ( x ) mają w sobie górne granice. Jedyne pytanie dotyczy tego, czy pusty podzbiór ma górną granicę, tj. Czy A ( x ) jest w pierwszej kolejności niepuste. Więc,k1k2A(x)k1k2A(x)A(x)A(x)

  • Czy zastąpienie pierwszego warunku parametrem jest niepusty?A(x)
  • Jaki jest przykład sytuacji, w której jest pusty?A(x)

Dodano uwagę: W jaki sposób w A (x)? Po pierwsze, ponieważ k 1x i k 2x , mamy k 1k 2x . Po drugie, k 1 i k 2 są zwarte. Tak więc każdy ukierunkowany zestaw, który wykracza poza ich zakres, musi je „przekazać”. Załóżmy, że zestaw ukierunkowany u również wykracza poza k 1k 2 , tj. K 1k 2uk1k2k1xk2xk1k2xk1k2uk1k2k1k2u. Ponieważ wyszła poza i k 2 , to musi je minęło, czyli istnieją elementy y 1 , y 2U taki, że k 1y 1 i k 2y 2 . Ponieważ u jest zbiorem ukierunkowanym, musi mieć górną granicę dla y 1 i y 2 , powiedzmy y . Teraz k 1k 2y d . To pokazuje żek1k2y1,y2uk1y1k2y2uy1y2yk1k2yd jest zwarty. Dwa elementy razem mówią k 1k 2A ( x ) .k1k2k1k2A(x)

Uday Reddy
źródło
Mówicie: „jeśli k1 i k2 są w A (x), to k1⊔k2 również jest w A (x)” - jak to udowodnić?
Artem Pelenitsyn
@ArtemPelenitsyn: Dodałem mój argument do pytania.
Uday Reddy
1
Proszę mnie poprawić, jeśli źle to zrozumiałem, ale: w swojej notatce zakładasz, że k1⊔k2 istnieje w L. Ale L jest tylko zbiorem, a nie zbiorem ukierunkowanym, więc nie możesz tego zrobić.
Artem Pelenitsyn
1
Przekonałem się
@ArtemPelenitsyn. Świetnie, wielkie dzięki. Uważaj na ukryte założenie!
Uday Reddy

Odpowiedzi:

12

Przykładem, w którym jest puste, jest zbiór liczb rzeczywistych R o zwykłej kolejności. Nie ma żadnych kompaktowych elementów.A(x)R

A(x)A(x)=xLxA(x)=

LNι1(n)ι2(n)n

  • ι1(m)ι1(n)mn
  • ι2(m)ι2(n)mn
  • xx

  1. xK(L)

  2. x=(xK(L))

  3. K(L)=N+N

Andrej Bauer
źródło
1
Chłodny. Świetny przykład!
Uday Reddy