Definicja „zestawu algebraicznego” w ciągłych sieciach i domenach , definicja I-4.2, mówi, że dla wszystkich ,
- zbiór powinien być zbiorem ukierunkowanym, i
- .
Tutaj jest zbiorem, K ( L ) jest zbiorem zwartych elementów L , a ↓ x oznacza { y ∣ y ⊑ x } .
Byłem trochę zaskoczony pierwszym warunkiem. Łatwo jest argumentować, że jeśli i k 2 są w A ( x ), to k 1 ⊔ k 2 również znajduje się w A ( x ) . Zatem wszystkie niepuste skończone podzbiory A ( x ) mają w sobie górne granice. Jedyne pytanie dotyczy tego, czy pusty podzbiór ma górną granicę, tj. Czy A ( x ) jest w pierwszej kolejności niepuste. Więc,
- Czy zastąpienie pierwszego warunku parametrem jest niepusty?
- Jaki jest przykład sytuacji, w której jest pusty?
Dodano uwagę: W jaki sposób w A (x)? Po pierwsze, ponieważ k 1 ⊑ x i k 2 ⊑ x , mamy k 1 ⊔ k 2 ⊑ x . Po drugie, k 1 i k 2 są zwarte. Tak więc każdy ukierunkowany zestaw, który wykracza poza ich zakres, musi je „przekazać”. Załóżmy, że zestaw ukierunkowany u również wykracza poza k 1 ⊔ k 2 , tj. K 1 ⊔ k 2 ⊑ ⨆ u. Ponieważ wyszła poza i k 2 , to musi je minęło, czyli istnieją elementy y 1 , y 2 ∈ U taki, że k 1 ⊑ y 1 i k 2 ⊑ y 2 . Ponieważ u jest zbiorem ukierunkowanym, musi mieć górną granicę dla y 1 i y 2 , powiedzmy y . Teraz k 1 ⊔ k 2 ⊑ y ∈ d . To pokazuje że jest zwarty. Dwa elementy razem mówią k 1 ⊔ k 2 ∈ A ( x ) .
źródło
Odpowiedzi:
Przykładem, w którym jest puste, jest zbiór liczb rzeczywistych R o zwykłej kolejności. Nie ma żadnych kompaktowych elementów.A(x) R
źródło