Ile wystąpień 3-SAT jest zadowalających?

28

Rozważ problem 3-SAT na n zmiennych. Liczba możliwych odrębnych klauzul wynosi:

C=2n×2(n1)×2(n2)/3!=4n(n1)(n2)/3.

Liczba przypadków problemem jest ilość wszystkich podzbiorów zestawu możliwych punktach: . Trywialnie, dla każdego n 3 istnieje co najmniej jeden przypadek satysfakcjonujący i jeden przypadek niezadowalający. Czy można obliczyć lub przynajmniej oszacować liczbę zadowalających wystąpień dla dowolnego n?I=2Cn3

Antonio Valerio Miceli-Barone
źródło
Zobacz także podobne pytanie cstheory.stackexchange.com/q/14953
András Salamon
Czy masz coś przeciwko wyjaśnieniu, w jaki sposób otrzymujesz wzór liczenia? Gdzie jest 3! pochodzić itp?
Yan King Yin
Kolejne pytanie dla początkujących: jeśli całkowita liczba konfiguracji (tj. Przypisania prawdy) wynosi , oznacza to, że żadna instancja problemu nie może wyrazić wielu przypisań prawdy. Jest to sprzeczne z intuicją dla mojej wiedzy, że formuły boolowskie są kompletne w tym sensie, że mogą wyrażać dowolną tabelę prawdy. Co tu jest haczyk? 22n2C
Yan King Yin

Odpowiedzi:

27

Długa historia prac nad przejściami faz w SAT wykazała, że ​​dla każdego ustalonego istnieje próg sparametryzowany stosunkiem liczby klauzul do n, który decyduje o spełnieniu. Z grubsza mówiąc, jeśli stosunek jest mniejszy niż 4,2, to z przeważającym prawdopodobieństwem instancja jest zadowalająca (a zatem ogromna część liczby instancji z tyloma klauzulami i zmiennymi jest zadowalająca). Jeśli współczynnik ten jest nieco powyżej 4,2, wówczas obowiązuje odwrotność - przytłaczająca część przypadków jest niezadowalająca.nn

Odniesień jest o wiele za dużo, aby tu cytować: jednym źródłem informacji jest książka Mezarda i Montanari . Jeśli ktoś ma źródła do ankiet itp. Na ten temat, może opublikować je w komentarzach lub edytować tę odpowiedź (zrobię to CW)

Referencje:
- badanie Achlioptas
- Jeżeli naprawdę trudne problemy
- Udoskonalenie przejście fazowe w poszukiwaniu kombinatorycznej

Suresh Venkat
źródło
To jest bardzo interesujące. Jakie jest „przytłaczające prawdopodobieństwo?” Czy to coś w 75%, czy 99,9999%?
Philip White
Szczerze mówiąc, nie pamiętam. jest sparametryzowany przez odległość stosunku od punktu przełączenia i działa jak sigmoid (więc bardzo szybko dochodzi do 1). Powiązane ankiety mają prawdopodobnie więcej szczegółów
Suresh Venkat
1
k
17

2|C|

2(7/8)|C|

2n|C|=O(n3)

Magnus Wahlström
źródło
3n2n3n2n2n1 < numberofclauses 3n2nwówczas te przypadki były wyjątkowo satysfakcjonujące lub niezadowalające. Nie przypominam sobie wyprowadzenia dla 3-SAT na czubku głowy. Ok
Tayfun Zapłać
4

Ta odpowiedź dotyczy tylko tempa wzrostu liczby zadowalających przypadków.

AO(nk)kNPP=NP

Mohammad Al-Turkistany
źródło