Dlaczego wykresy Ramanujana noszą nazwy od Ramanujan?

25

Ostatnio uczyłem ekspanderów i wprowadziłem pojęcie grafów ramanujańskich. Michael Forbes zapytał, dlaczego tak się nazywają, i musiałem przyznać, że nie wiem. Ktoś?

Dana Moshkovitz
źródło

Odpowiedzi:

36

Aby dodać trochę treści do odpowiedzi tutaj, wyjaśnię pokrótce przypuszczenie Ramanujana.

Po pierwsze, przypuszczenie Ramanujana jest w rzeczywistości twierdzeniem udowodnionym przez Eichlera i Igusę. Oto jeden ze sposobów, aby to stwierdzić. Niech rm(n) oznacza liczbę całkowych rozwiązań równania kwadratowego x12+m2x22+m2x32+m2x42=n . Jeśli m=1 , to rm(n)>0m r m ( n ) = c m Σ d | n d + O ( n 1 / 2 + ε ) ε > 0 c m mr1(n)=8dn,4ddmrm(n)=cmdnd+O(n1/2+ϵ)ϵ>0cmm

Lubtozky, Phillips i Sarnak skonstruowali swoje ekspandery na podstawie tego wyniku. Nie znam szczegółów ich analizy, ale myślę, że podstawową ideą jest skonstruowanie wykresu Cayleya dla pierwszej that , przy użyciu generatorów określonych przez każdą sumę - rozkład czterech kwadratów p , gdzie p jest kwadratowym modułem reszty modulo q . Następnie odnoszą wartości własne tego wykresu Cayleya do r_ {2q} (p ^ k) dla liczb całkowitych k . q 1 mod 4PSL(2,Zq)q1mod4p q r 2 q ( p k ) kppqr2q(pk)k

Odwołaniem, innym niż sam papier Lubotzky'ego-Phillipsa-Sarnaka, jest krótki opis Nogi Alona w Narzędziach z Wyższej Algebry .

arnab
źródło
2
miły ! świetna odpowiedź.
Suresh Venkat
21

Wikipedia udziela tej odpowiedzi dość szybko. Cytowanie

Konstrukcje grafów Ramanujana są często algebraiczne. Lubotzky, Phillips i Sarnak pokazują, jak konstruować nieskończoną rodzinę nieregularnych wykresów Ramanujana, ilekroć jest liczbą pierwszą. Ich dowód wykorzystuje przypuszczenie Ramanujana , które doprowadziło do nazwy grafów Ramanujana.p = 1p+1p=1mod4

Artykuł, o którym mowa, to wykresy Ramanujana A. Lubotzky, R. Phillips i P. Sarnak, COMBINATORICA Tom 8, Numer 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.

Dave Clarke
źródło
pytanie brzmi: czym jest hipoteza ramanujana
Suresh Venkat
Czasem o wiele lepiej jest zachować linki podczas cytowania.
Tsuyoshi Ito,
W rzeczy samej. Nie doceniłem powagi pytania.
Dave Clarke,