Charakterystyka stałej głębokości

To pytanie dotyczy złożoności obwodu. (Definicje znajdują się na dole).

Yao Beigel-Tarui wykazała, że każdy C C 0 rodziny obwód wielkość y jest równoważny rodziny obwodu o rozmiarze s s O l r ( log s ) głębokości dwóch , w którym brama wyjściowa jest funkcją symetryczną, a drugi etap składa od N D bramy p ö l r ( log s )$ACC^0$$s$$s^{poly(\log s)}$$AND$$poly(\log s)$wachlarz. Jest to dość niezwykłe „załamanie głębokości” rodziny obwodów: z obwodu głębokości 100 można zmniejszyć głębokość do 2, z jedynie quasi-wielomianowym powiększeniem (i jedną fantazyjną, ale wciąż ograniczoną bramą u góry).

Moje pytanie: czy istnieje znany sposób wyrażenia rodziny obwodów , podobnie? Co bardziej ambitne, co z rodziną obwodów N C 1 ? Potencjalne odpowiedzi miałyby postać: „Każdy obwód T C 0 o rozmiarze s może zostać rozpoznany przez rodzinę wielkości f ( s ) o głębokości drugiej , gdzie bramka wyjściowa jest funkcją typu X, a drugi poziom bram ma typ Y ” .$TC^0$$NC^1$$TC^0$$s$$f(s)$$X$$Y$

Nie musi to być druga głębokość, każdy wynik o stałej głębokości byłby interesujący. Bardzo interesujące byłoby udowodnienie, że każdy obwód może być reprezentowany na głębokości 3 przez obwód składający się tylko z bramek funkcji symetrycznych.$TC^0$

Kilka drobnych spostrzeżeń:

1. Jeśli odpowiedź jest trywialne dla każdej logicznej funkcji (możemy wyrazić dowolny funkcję jak O R w 2 n N D s). Dla konkretności wymagamy f ( n ) = 2 n o ( 1 ) .$f(n)=2^n$$OR$$2^n$ $AND$$f(n) = 2^{n^{o(1)}}$

2. Odpowiedź jest trywialna, jeśli lub Y mogą być dowolną funkcją obliczalną w T C 0 ... :) Oczywiście interesują mnie funkcje „prostsze”, cokolwiek to znaczy. Definiowanie tego jest trochę śliskie, ponieważ istnieją rodziny funkcji symetrycznych, których nie można obliczyć. (Są jedne języki, których nie da się obliczyć.) Jeśli chcesz, możesz po prostu zastąpić X i Y funkcjami symetrycznymi w instrukcji, jednak byłbym zainteresowany innymi porządnymi wyborami bramek.$X$$Y$$TC^0$$X$$Y$

(Teraz krótkie przypomnienie notacji:

$ACC^0$$AND$$OR$$MOD_m$$m > 1$$MOD_m$$1$$m$

$TC^0$$MAJORITY$

$NC^1$$AND$$OR$$NOT$

$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

$TC^0$$AC^0$$TC^0$$A$$TC^0$$f$$\sharp AC^0$$k$

$x \in A$$f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$$Z$$x_i$$1-x_i$

Biorąc pod uwagę, że, jak zauważa Boaz w swojej odpowiedzi, istnieje niebanalna redukcja głębokości dla obwodów arytmetycznych, może to być coś do rozważenia.

$NC^1$

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$$O(\log n)$$O(n)$$g$$NC_0[n^{\epsilon}]$$f$$2^{n-o(n)}$$f$$g$$NC^1$