Wiemy, że jeśli masz maszynę PSPACE, jest ona wystarczająco mocna, aby dać interaktywny dowód dowolnego poziomu hierarchii wielomianowej. (I jeśli dobrze pamiętam, wszystko czego potrzebujesz to #P.) Ale załóżmy, że chcesz dać interaktywny dowód członkostwa w języku . Czy wystarczy rozwiązać problemy w Σ 2 ? Czy rozwiązywanie problemów w Σ 5 jest odpowiednie? Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli potrafisz rozwiązać problemy Σ k lub Π k , to po co Σ ℓ to wystarcza do wygenerowania interaktywnych dowodów wszystkich języków w Σ ℓ ?
To pytanie zostało zainspirowane tym pytaniem dotyczącym wymiany stosu cstheory .
cc.complexity-theory
interactive-proofs
Peter Shor
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Nawet w celu podania adresu IP dla koNP, przy użyciu obecnych technik, trzeba arytmetyzować, tzn. Użyć liczenia, co oznacza zasadniczo pełną moc #P. Wydaje mi się, że każdy słabszy prover, nawet dla CoNP, byłby bardzo interesujący (w szczególności oznaczałby nową technikę nierelatywną).
źródło
To znany (cudowny) otwarty problem, nad którym od czasu do czasu pracowałem bez powodzenia.
Avi Wigderson i ja wspomnieliśmy o tym problemie w naszym artykule na temat algebriacji , w którym podnieśliśmy pytanie, czy pojemniki takie jak coNP ⊆ IP NP można udowodnić za pomocą technik algebrizowania. (Tutaj IP NP oznacza adres IP z weryfikatorem BPP i przysłowiową NP BPP .) Jeśli (jak przypuszczam) odpowiedź brzmi „nie”, to stanowiłoby formalny powód, dla którego jakikolwiek interaktywny protokół, taki jak ten, o który pyta Peter, wymagałby braku relatywizacji techniki, które „wykraczają zasadniczo poza” stosowane w przypadku IP = PSPACE.
Analogiczne pytanie brzmi, czy BQP = IP BQP , gdzie IP BQP oznacza IP z weryfikatorem BPP i prover BQP (kwantowy czas wielomianowy). To pytanie jest również otwarte --- chociaż niedawny przełom dokonany przez Broadbent, Fitzsimons i Kashefi pokazał, że ściśle powiązane stwierdzenie jest prawdziwe.
źródło
Tak, pytanie o to, czy coNP ma interaktywny dowód, w którym prover jest słabszy niż #P (powiedzmy, polytime z dostępem do NP oracle) jest dobrze znanym otwartym pytaniem. Poniższy ostatni artykuł Haitnera, Mahmoody'ego i Xiao omawia to pytanie i pokazuje pewne konsekwencje założenia, że nie można tego zrobić.
źródło
Ponieważ Suresh zasugerował, żebym opublikował swój komentarz jako odpowiedź, zrobię to. Jednak nie uważam tego za pełną odpowiedź, ponieważ nie próbowałem tego udowodnić, i może okazać się ślepy zaułek.
źródło