Powiedzmy, że pracuję w teorii typów homotopii, a moim jedynym przedmiotem badań są kategorie konwencjonalne.
Równoważności są podane przez funktory i które zapewniają równoważność kategorii . Istnieją naturalne izomorfizmy i więc ten funktor i „odwrotny” funktor są przekształcane w funktor jednostkowy.
Teraz univalence wiąże równoważność z typem tożsamości teorii typu celowego, którą wybrałem, aby mówić o kategoriach. Ponieważ mam do czynienia tylko z kategoriami, które są równoważne, jeśli mają szkielety izomorficzne , zastanawiam się, czy mogę wyrazić aksjomat jedności w kategoriach przejścia do szkieletu kategorii.
Albo, inaczej, czy mogę zdefiniować typ tożsamości, tj. Wyrażenie składniowe w sposób, który zasadniczo mówi „istnieje szkielet (lub izomorfi) i i są równoważne. "?
(Powyżej staram się interpretować teorię typów w kategoriach pojęć, które są łatwiejsze do zdefiniowania - pojęcia kategorii teoretycznej. Myślę o tym, ponieważ moralnie wydaje mi się, że aksjomat „koryguje” umyślną teorię typów za pomocą twardego kodowania zasada równoważności , który już jest naturalną częścią formułowania wypowiedzi kategorii teoretycznych, np określające obiekty tylko pod względem właściwości uniwersalne).
Odpowiedzi:
Odsyłam cię do rozdziału 9 książki HoTT. W szczególności kategoria jest zdefiniowana w taki sposób, aby obiekty izomorficzne były równe, patrz definicja 9.1.6 . Jak wskazuje przykład 9.1.15, w HoTT naprawdę nie ma rozsądnego pojęcia „szkieletowości”. Dzieje się tak, ponieważ równość jest tak słaba, że już oznacza „izomorficzny”.
Co więcej, twierdzenie 9.4.16 mówi
Twierdzenie mówi nam, że aksjomat Univalence daje nam rodzaj marzenia teoretyka kategorii: równoważne kategorie są równe.
Pytasz, czy możesz zredukować aksjomat Univalence do stwierdzenia o kategoriach. Próby użycia szkieletów nie zadziałają, ponieważ nie ma dobrego sposobu na powiedzenie „szkielet”. Możemy zapytać, czy Twierdzenie 9.4.16 implikuje aksjomat Univalence. O ile mi wiadomo, tak się nie stanie , ponieważ kategoria ma typ (groupoid) obiektów i typ (zestaw) morfizmów, więc twierdzenie 9.4.16 jest równe Aksjomat jednoznaczności tylko dla typów 1.1 0
źródło