Dla Oznaczmy przez najmniejszy element .
Na dwa -elementowe zestawów, , mówimy, że ≤ B jeśli ja ≤ b I dla każdego I .
-uniform hipergraf jest nazywany zmiana łańcuchu Jeżeli z jakichkolwiek hyperedges, , B ∈ H mamy ≤ B lub B ≤ . (Więc łańcuch zmiany biegów ma najwyżej k ( n - k ) + 1 hipergezy.)
Mówimy, że hipergraph jest dwukolorowy (lub że ma właściwość B), jeśli możemy pokolorować jego wierzchołki dwoma kolorami, tak aby żadna hipergezja nie była monochromatyczna.
Czy to prawda, że łańcuchy zmiany biegów są dwukolorowe, jeśli jest wystarczająco duże?
Uwagi Po raz pierwszy opublikowałem ten problem na Mathoverflow , ale nikt go nie skomentował.
Problem został zbadany podczas 1. warsztatu Emlektabla pod kątem częściowych wyników, patrz broszura .
Pytanie jest motywowane rozkładem wielu pokryć płaszczyzny przez przekłady wypukłych kształtów, istnieje wiele otwartych pytań w tej dziedzinie. (Aby uzyskać więcej informacji, zobacz moją pracę doktorską .)
Dla istnieje trywialny kontrprzykład: (12), (13), (23).
Bardzo magiczny kontrprzykład podano dla przez Radoslava Fuleka z programem komputerowym:
(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),
(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).
Jeśli pozwolimy, aby hypergraph był połączeniem dwóch łańcuchów zmiany biegów (w tej samej kolejności), to istnieje kontrprzykład dla dowolnego .
Aktualizacja. Niedawno udało mi się pokazać, że bardziej ograniczona wersja łańcuchów zmiany biegów jest dwukolorowa w tym przedruku .
Stała nagroda! W każdej chwili z przyjemnością przyznam 500 nagród za rozwiązanie!
źródło
Odpowiedzi:
To nie jest odpowiedź. Poniżej znajduje się prosty dowód, że konstrukcja dla k = 3 jest rzeczywiście kontrprzykładem. Myślę, że pytający zna ten dowód, ale i tak go opublikuję, ponieważ dowód jest ładny i może to być przydatne, gdy ludzie rozważą przypadek większego k .
Łatwo jest zweryfikować, że jest to łańcuch zmianowy. Pokażmy, że nie ma właściwości B.
W rzeczywistości subhypergraph {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} już nie spełnia właściwości B. aby to zobaczyć, załóżmy, że hipergraf ma 2 barwienia i niech C i mieć kolor wierzchołka ı . Spójrz na trzy hiperwery (145), (245), (345). Jeśli c 4 = c 5 , wówczas wszystkie 1, 2 i 3 muszą mieć kolor przeciwny do c 4 , ale dałoby to monochromatyczny efekt hipergezy (123). Dlatego musi być tak, że c 4 ≠ c 5 . Podobnie,
Dlatego mamy c 3 ≠ c 4 ≠ c 5 ≠ c 6 ≠ c 7 . Ale to implikuje c 3 = c 5 = c 7 , co sprawia, że hipersge (357) jest monochromatyczny. Jest to sprzeczne z założeniem kolorowania 2.
źródło
Być może coś mi brakuje, ale myślę, że metoda probabilistyczna ma dobrą dolną granicę:
źródło