Niezależni gaussowie parami

Biorąc pod uwagę $X_1,\ldots,X_k$ (iid gaussians ze średnią $0$ i wariancją $1$ ), czy możliwe jest (jak?) Próbkowanie (dla $m=k^2$ ) $Y_1, \ldots, Y_m$ takie, że $Y_i$ są parami niezależni gaussowie ze średnią $0$ i wariancją $1$ .

Publikacja na MathOverflow mówi, jak przejść od małej liczby niezależnych zmiennych losowych Uniform [0,1] do większej liczby niezależnych od pary zmiennych losowych Uniform [0,1]. Możesz oczywiście przechodzić między Uniformem [0,1] a Gaussa poprzez odwrócenie CDF. Wymaga to jednak analizy numerycznej, ponieważ CDF nie ma formy zamkniętej.

$X_1, X_2$$\arctan(X_1/X_2)$$[0,2 \pi]$

Podobnie metoda Boxa-Mullera przekształca dwie niezależne zmienne Uniform [0,1] w dwie niezależne zmienne losowe Gaussa.

$O(1)$

$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

Dla każdej odrębnej pary , niech , gdzie jest funkcją znaku. Oczywiste jest, że każde jest zmienną normalną ze średnią 0 i wariancją 1. Aby zobaczyć, że są one ortogonalne, dla zauważ, że które można łatwo sprawdzić, aby uzyskać wartość 0, patrząc na różne przypadki możliwych równości między .$(i,j) \in {[k] \choose 2}$$Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$$\sigma(\cdot)$$Y_{i,j}$$(i,j) \neq (i',j')$

PS: Poprzednia wersja fałszywie twierdziła, że ​​jest niezależna w parach.