Jak szybko niedeterministyczny algorytm dla problemu pełnego EXPTIME musiałby sugerować

20

Jak szybko niedeterministyczny algorytm dla problemu pełnego EXPTIME musiałby sugerować ? Algorytm niedeterministyczny czasu wielomianowego natychmiast implikowałby to, ponieważ ale nikt nie wierzy, że . Jeśli zrobiłem algebrę w prawo (patrz poniżej), twierdzenie o hierarchii czasu nadal dawałoby implikację dla czasów uruchamiania dla dowolnego wielobiegunowego , ale dla wszystko, co wiem, to całkowite problemy z wydajnymi redukcjami, które pozwalają wolniejszym algorytmom dawać wynik. Czy występują problemy z pełnymi wyjątkami, gdy wiemy coś w rodzaju lubPNPPEXPTIMENP=EXPTIMEPNPO(2n/f(n))f()2n/n2n/n2 z niedeterminizmem wystarczy?

Wyjaśnienie „algebry”: implikuje przez argument dopełniający, więc niedeterministyczny algorytm dla problemu pełnego EXPTIME byłby również jednym dla problemu pełnego NEXPTIME. W przypadku wielobiegunowego byłoby to sprzeczne z niedeterministycznym twierdzeniem o hierarchii czasu, ponieważ moglibyśmy zmniejszyć używając NTIME .E X P T I M E = N E X P T I M E 2 n / f ( n ) f ( ) L ( 2 n )P=NPEXPTIME=NEXPTIME2n/f(n)f()L(2n)

Anonimowy
źródło
6
Myślę, że tak naprawdę potrzebujesz czasu działania aby uzyskać sprzeczność z twierdzeniem o hierarchii czasu. Wydaje mi się też, że to mało prawdopodobne. 2no(1)
Sasho Nikolov
2
Wystarczy powtórzyć pytanie: jaki jest największy f gdzie ExpTime NTime (f(n)) oznacza NP P?
Kaveh
ps: jeśli zarejestrujesz konto, możesz łatwiej edytować swoje pytanie.
Kaveh
3
Uważam, że Sasho ma rację, jeśli EXPTIME=NEXPTIME taki, że L jest EXPTIME a L jest NEXPTIME a L jest redukowalne do L w czasie O(nk) , to nadal możliwe jest, że LNTIME(2nk) bez żadnych sprzeczności, ponieważ wystąpienie L może być O(nk) większe niż L .
Joe Bebel,

Odpowiedzi:

16

Myślę, że łatwiej to odwrócić.

Jeśli , to dla jakiegoś stałego i dowolnego . Ponieważ nie zawiera , oznacza to, że nie możemy rozwiązać, powiedz wszystkie problemy w w dla niektórych . algorytm niedeterministyczny dla kompletnego problemu dla przy quasi-liniowych redukcjach wystarczyłby do udowodnieniaN T I M E ( T ( n ) ) D T I M E ( ( T ( n ) ) c ) c T ( n ) > n D T I M E ( ( T ( n ) c ) D T I M E ( T ( n ) cP=NPNTIME(T(n))DTIME((T(n))c)cT(n)>nDTIME((T(n)c)D T I M E ( 2 n ) N T I M E ( 2 ϵ n ) ϵ 2 o ( n ) D T I M E ( 2 n ) PN PDTIME(T(n)clogT(n))DTIME(T(n)c+1)DTIME(2n)NTIME(2ϵn)ϵ2o(n)DTIME(2n)PNP.

Russell Impagliazzo
źródło
1
Dziękujemy za czasu na krótsze wyjaśnienie, dlaczego implikuje . P N PDTIME(2n)NTIME(2o(n))PNP
Michael Wehar,
I dzięki za wskazanie, że można zastosować twierdzenie o deterministycznej lub niedeterministycznej hierarchii czasu. :)
Michael Wehar
15

Prosta odpowiedź: dla każdego - problem istnieje jakiś stały taki że gdybyśmy mogli rozwiązać problem w , to .h a r d c N T I M E ( 2 o ( n 1EXPTIMEhardcPNPNTIME(2o(n1c))PNP

Uwaga: Stała pochodzi od powiększeń wielkości instancji wynikających z redukcji.c

Uzasadnienie: Niech oznaczają - problem. Oznacza to, że każdy problem w jest wielomian czas sprowadzić do . W rzeczywistości możemy pokazać więcej.E X P T I M E h a r d E X P T I M E XXEXPTIMEhardEXPTIMEX

Problem akceptacja czasu ograniczone deterministycznych maszyny Turinga w i dlatego jest wielomianem czas zredukować do . D T I M E ( n 2 n ) E X P T I M E X2nDTIME(n2n)EXPTIMEX

Dlatego musi istnieć pewna stała stała tak aby każdy problem w był czasem wielomianowym redukowalnym do gdzie powiększenie wielkości instancji wynosi . Oznacza to, że przykłady wielkości n są ograniczone do przypadków rozmiaru o .D T I M E ( 2 n ) X O ( n c ) O ( n c ) XcDTIME(2n)XO(nc)O(nc)X

Teraz, jeśli mielibyśmy , to . Implikuje to jednak (szczegóły poniżej).DTIXNTIME(2o(n1c))P N PDTIME(2n)NTIME(2o(n))PNP

Dodatkowe szczegóły: Można pokazać, że .c P=NP c N T I M E ( n k ) D T I M E ( n c k )k NTIME(nk)DTIME(nck)

Innymi słowy, jeśli możesz rozwiązać - w czasie wielomianowym, istnieje jednolity sposób przyspieszenia dowolnego problemu w .c o m p l e t e N PNPcompleteNP

Załóżmy teraz, że . Przez poprzednie (z = 1) otrzymujemy stałą taką, że k cP=NPk NTIME(n)DTIME( n c ).c

NTIME(n)DTIME(nc).

Następnie możemy użyć dopełnienia, aby zwiększyć skalę tego włączenia i uzyskać

NTIME(2n)DTIME(2cn).

Następnie, według twierdzenia o deterministycznej hierarchii czasu, mamy dla dowolnego .ϵ > 0

NTIME(2n)DTIME(2cn)DTIME(2(c+ϵ)n)
ϵ>0

Dlatego nie mogliśmy mieć DTIME(2(c+ϵ)n)NTIME(2n).

Co więcej, nie mogliśmy mieć ponieważ przez wypełnienie otrzymalibyśmy .D T I M E ( 2DTIME(2n)NTIME(2o(n))DTIME(2(c+ϵ)n)NTIME(2o(n))

Dalsze pytanie: Czy ktoś ma jakieś proste przykłady - problemy, w których możemy łatwo określić stałą wysadzenia rozmiaru instancji ?c o m p l e t e cEXPTIMEcompletec

Michael Wehar
źródło
1
Problemem akceptacji jest sam , to znaczy język składający się z DTM które na wejściu akceptują w ciągu kroków, ponieważ każdy język ma część która akceptuje w czasie dla pewnego , więc właściwy wybór zmniejsza do . W szczególności stała ( ) wydaje się wtedy pokazywać, że przyspieszenie (to znaczyEDTIME(2n)EXPTIMEL={T,x,1m}Tx2mLEXPTIMETxL2O(|x|k))km=O(|x|k)LLc=1f(n)) musi być wykładniczy, jeśli ma być wyświetlany , jeśli wybierzesz ten konkretny język z . PNPEXPTIME
Joe Bebel,
1
@JoeBebel Cześć Joe, dziękuję za komentarz. Myślę, że to cenne, że dodatkowo rozważyć ten problem . Tutaj możemy powiedzieć więcej niż tylko oznacza . W przypadku tego konkretnego sztucznego problemu możemy być w stanie powiedzieć coś jak dla dowolnego , implikuje dla wszystkich . L N T I M E ( 2 o ( n ) )LLNTIME(2o(n))PNPLkNTIME(n)DTIME(nk-ϵ)ϵ>0LNTIME(2nk)NTIME(n)DTIME(nkϵ)ϵ>0
Michael Wehar