Złożoność Hamiltonianów podlegających prawu obszarowemu

Ostatnio pomyślałem o „zaimportowaniu” niektórych pytań związanych z fizyką do kwantowego CS:

Pojęcie zjawiska prawa obszarowego w układach hamiltonowskich zwykle oznacza lokalnego hamiltonianu na pewnej sieci, którego stan naziemny wykazuje właściwość, w której uwikłanie dowolnego zamkniętego regionu jest proporcjonalne do powierzchni regionu, a nie jego objętości (jak by to było dla ogólnego stanu). Słynna hipoteza dotyczy tego, czy wszyscy nieustannie pogrążeni w Hamiltonianach wykazują tę właściwość prawa obszarowego. W przypadku systemów 1-wymiarowych na pytanie to pozytywnie odpowiedział Hastings (arXiv: 0705.2024).

Jednak związek między takimi systemami a teorią złożoności jest bardzo niejasny: podczas gdy wynik Hastingsa sugeruje, że systemy 1-D zgodne z prawem obszarowym mogą być klasycznie symulowane, w przypadku układów ogólnych nie jest to znane. Moje pytanie brzmi więc, czy warto poszukać hipotezy dotyczącej prawa obszarowego? Innymi słowy, można wymyślić kompletny lokalny hamiltonian z QMA, który jest również zgodny z prawem miejscowym. Krótkie spojrzenie na znanych miejscowych hamiltonianów z QMA, które zasadniczo oparte są na kwantowym twierdzeniu Cooka-Levina Kitaeva, dowodzi, że ci hamiltonianie nie mają właściwości prawa obszarowego.

Można rozważyć następujący nieco głupi przykład systemu 2d, który jest zgodny z prawem obszaru, które jest kompletne QMA. Weź system 2d, którego jeden rząd jest równy jednemu ze znanych kompletnych QMA Hamiltonianów 1d (patrz Aharonov, Gottesman, Irani, Kempe), a wszystkie pozostałe rzędy są w stanie produktu. Następnie jest to zgodne z prawem powierzchni (rozważ narysowanie prostokąta, który zawiera podany rząd, z rzędami k i kolumnami l; splątanie jest ograniczone stałymi czasami l, a pole jest również co najmniej równe l).

Jednak moim zdaniem z pewnością nie oznacza to, że udowodnienie prawa obszarowego w 2d byłoby bezcelowe z punktu widzenia złożoności. Myślę raczej, że oznacza to, że musimy wziąć pod uwagę nie tylko prawo obszarowe dla entropii splątania, ale także inne właściwości splątania. Jedną z takich właściwości byłby PEPS o wymiarze wiązania wielomianowego. W rzeczywistości udowodnienie, że w 2d istnieje prawo powierzchniowe, nie oznacza posiadania PEPS o wymiarze wiązania wielomianowego. Implikacja w 1d polega na tym, że możemy przeciąć system między różnymi wiązaniami, obciąć do wielomianowej rangi Schmidta na każdej wiązaniu i związać błąd. Ta procedura nie działa w 2D. Tak więc kolejnym krokiem byłoby udowodnienie istnienia PEPS dla systemu z przerwami w 2d. Mam wrażenie, że udowodnienie prawa rejonowego w 2d byłoby dobrym pierwszym krokiem do tego.

W rzeczywistości, w fizyce materii skondensowanej jest dobrze zbadane, że istnieją nieokreślone 2d hamiltoniany, które podlegają prawu obszarowemu. Podczas gdy na 1d, systemy opisane przez konformalną teorię pola mają logarytmiczne zachowanie entropii splątania, w 2d wiele systemów krytycznych wykazuje prawo powierzchniowe, a następnie logi ukazują się w zachowaniu podleadniczym, więc entropia jest równa L + const * log (L) + ... To znaczy, interesujące, uniwersalne terminy w entropii nie są terminami wiodącymi, lecz podleadowaniem w takich teoriach 2d.

Dzięki za szczegółową i wnikliwą odpowiedź oraz zaostrzenie rozróżnienia między prawem obszarowym a wymiarem wiązania wielomianowego.