Dowody, które ujawniają głębszą strukturę

35

Standardowy dowód na powiązanie z Chernoffem (z podręcznika Randomized Algorytmy ) korzysta z funkcji nierówności Markowa i funkcji generowania momentu, z odrobiną rozszerzenia Taylora. Nic zbyt trudnego, ale nieco mechanicznego.

Ale istnieją inne dowody związane z Chernoffem, które ujawniają głębszą strukturę napędzającą wynik. Na przykład istnieje wersja teoretyczno-informacyjna, która wykorzystuje metodę typów, czego przykładem jest ten artykuł Impagliazzo i Kabanets , a także krótki post Sanjoyego Dasgupty . Te ostatnie dowody są bardziej „intuicyjne”, ponieważ zapewniają uogólnienie standardowego wyniku, a także wyjaśniają, skąd biorą się śmieszne wyrażenia w wykładniku (rozbieżność KL).

Jakie są dobre przykłady takich rzeczy? Aby być bardziej konkretnym, oto zasady:

  1. Oświadczenie powinno być dość dobrze znane (coś, czego można by się nauczyć na jakiejś klasie absolwentów)
  2. Powinien istnieć „standardowy” dowód dostępny w podręcznikach lub standardowym materiale odniesienia, który jest „powszechnie” nauczany
  3. Powinien istnieć alternatywny dowód, który nie jest tak dobrze znany, NIE jest powszechnie nauczany i albo dowodzi bardziej ogólnego stwierdzenia, albo łączy to stwierdzenie z głębszą strukturą matematyczną.

Zacznę od dwóch przykładów.

  1. Chernoff związał się

    • dowód „podręcznikowy”: nierówność markowa, funkcje generujące moment, ekspansja Taylora (MR)
    • Niezbyt częsty i wnikliwy dowód: metoda typów, wykładnik ogona obejmujący rozbieżność KL
  2. Schwartz-Zippel Lemma

    • Dowód „podręcznikowy”: podstawowy przypadek obejmujący wielomian jednoznaczny. Indukcja od liczby zmiennych
    • dowód „niecodzienny”: argument geometryczny za pośrednictwem Dany Moshkovitz (i Per Vognsen )

Poproszę jeden przykład na odpowiedź.

ps Niekoniecznie sugeruję, że należy uczyć niezwykłego dowodu : bezpośredni dowód jest często łatwiejszy dla studentów. Ale w tym sensie, że „dowody pomagają nam zrozumieć”, te alternatywne dowody są bardzo pomocne.

Suresh Venkat
źródło

Odpowiedzi:

23

Nie jestem pewien, czy jest to dokładnie to, czego szukasz, ponieważ widziałem „niecodzienny” dowód w podręcznikach, ale: czas O (n log n) jest ograniczony do szybkiego sortowania.

  • Dowód „podręcznikowy”: skonfiguruj losową relację powtarzalności, udowodnij przez indukcję, że ma pożądane rozwiązanie.

  • Dowód „niecodzienny”: znajdź prosty wzór na prawdopodobieństwo porównania dowolnych dwóch elementów (to tylko 2 / (d + 1), gdzie d jest różnicą między ich szeregami w uporządkowanej kolejności) i zastosuj liniowość oczekiwań i szeregów harmonicznych obliczyć oczekiwaną liczbę porównywanych par.

Test podręcznika wymaga mniej twórczego wglądu, ale niecodzienny dowód wprowadza technikę, która jest bardzo przydatna w analizie innych algorytmów, np. W przypadku randomizowanych algorytmów przyrostowych w geometrii obliczeniowej.

David Eppstein
źródło
3
Myślę, że to działa. to dobry przykład. masz rację, że „niecodzienny” dowód znajduje się również w podręcznikach, ale wciąż nie jest tak powszechny.
Suresh Venkat
1
Od ponad dekady uczę studentów tego „niecodziennego” dowodu.
Jeffε
Nie wiem, co myślą o tym inni; ale Jon Bentley podał bardzo elegancką analizę środowiska uruchomieniowego dla oczekiwanego szybkiego środowiska uruchomieniowego w tekście Beautiful Code. Możesz również uzyskać dostęp do jego filmu na ten sam temat <a href=" youtube.com/watch?v=aMnn0Jq0J-E"> tutaj </ a >. Jestem prawie pewien, że jest to „analiza książki” oczekiwanego czasu wykonywania
Quicksort
19

Dorzucę się jedną z komplikacji, dowód, że BPP jest w . Dowodem podręcznik jest wynikiem Lautemann, tylko zapisz ekspresji i pokazać, że działa ze zwykłą probabilistyczny argument. Niezwykły dowód: odgadnij trudną funkcję ( zgadnij, sprawdź twardość) i podłącz ją do generatora Nisan-Wigderson.Σ2p

Lance Fortnow
źródło
Co więcej, dowód Lautemanna znacznie upraszcza dowód Sipsera (1983), który Sipser przypisuje Gacsowi.
MS Dousti,
1
Czy istnieje odniesienie do „niecodziennego” dowodu, czy jest to folklor?
MS Dousti,
2
Dowód znajduje się w gazecie Nisana-Wigdersona.
Lance Fortnow,
2
To „niezwykły dowód” w porządku, ale jakie jest „nowe rozumienie” z tego dowodu? Myślę, że dowód Lautemanna jest bardziej pouczający. Czy coś mi umyka?
V Vinay,
13

Wszyscy wiemy dla Bernoulliego ± 1 X i powinien zachowywać się jak Gaussa z odchyleniem standardowym σ = 2 , prawda? Udowodnijmy to, odnosząc się bezpośrednio do Gaussów! Biorąc t 2 liczbę całkowitą,iaiXi±1 Xiσ=a2t2)

E[(iaiXi)t]=i1,,it(j=1taij)E[j=1tXij]i1,,it(j=1t|aij|)E[j=1tXij]=i1<<imr1,,rmjrj=tj rj>0(tr1,,rm)(j=1m|aij|rj)(j=1mE[Xijrj])

rj01XiGirj0rj 1

E[(iaiXi)t]E[(i|ai|Gi)t]

2i|ai|Gia2ta2tt!/(2t/2(t/2)!)a2ttt/2

Pr[|iaiXi|>λ]<2O(t)λta2ttt/2
t=λ2/(Ca22)Cexp(Ω(λ2/a22))Xi
Jelani Nelson
źródło
6

AriiA

i(ri!)1/ri.
Timothy Chow
źródło