Standardowy dowód na powiązanie z Chernoffem (z podręcznika Randomized Algorytmy ) korzysta z funkcji nierówności Markowa i funkcji generowania momentu, z odrobiną rozszerzenia Taylora. Nic zbyt trudnego, ale nieco mechanicznego.
Ale istnieją inne dowody związane z Chernoffem, które ujawniają głębszą strukturę napędzającą wynik. Na przykład istnieje wersja teoretyczno-informacyjna, która wykorzystuje metodę typów, czego przykładem jest ten artykuł Impagliazzo i Kabanets , a także krótki post Sanjoyego Dasgupty . Te ostatnie dowody są bardziej „intuicyjne”, ponieważ zapewniają uogólnienie standardowego wyniku, a także wyjaśniają, skąd biorą się śmieszne wyrażenia w wykładniku (rozbieżność KL).
Jakie są dobre przykłady takich rzeczy? Aby być bardziej konkretnym, oto zasady:
- Oświadczenie powinno być dość dobrze znane (coś, czego można by się nauczyć na jakiejś klasie absolwentów)
- Powinien istnieć „standardowy” dowód dostępny w podręcznikach lub standardowym materiale odniesienia, który jest „powszechnie” nauczany
- Powinien istnieć alternatywny dowód, który nie jest tak dobrze znany, NIE jest powszechnie nauczany i albo dowodzi bardziej ogólnego stwierdzenia, albo łączy to stwierdzenie z głębszą strukturą matematyczną.
Zacznę od dwóch przykładów.
Chernoff związał się
- dowód „podręcznikowy”: nierówność markowa, funkcje generujące moment, ekspansja Taylora (MR)
- Niezbyt częsty i wnikliwy dowód: metoda typów, wykładnik ogona obejmujący rozbieżność KL
-
- Dowód „podręcznikowy”: podstawowy przypadek obejmujący wielomian jednoznaczny. Indukcja od liczby zmiennych
- dowód „niecodzienny”: argument geometryczny za pośrednictwem Dany Moshkovitz (i Per Vognsen )
Poproszę jeden przykład na odpowiedź.
ps Niekoniecznie sugeruję, że należy uczyć niezwykłego dowodu : bezpośredni dowód jest często łatwiejszy dla studentów. Ale w tym sensie, że „dowody pomagają nam zrozumieć”, te alternatywne dowody są bardzo pomocne.
Dorzucę się jedną z komplikacji, dowód, że BPP jest w . Dowodem podręcznik jest wynikiem Lautemann, tylko zapisz ∃ ∀ ekspresji i pokazać, że działa ze zwykłą probabilistyczny argument. Niezwykły dowód: odgadnij trudną funkcję ( ∃ zgadnij, ∀ sprawdź twardość) i podłącz ją do generatora Nisan-Wigderson.Σp2 ∃∀ ∃ ∀
źródło
Wszyscy wiemy dla Bernoulliego ± 1 X i powinien zachowywać się jak Gaussa z odchyleniem standardowym σ = ‖ ‖ 2 , prawda? Udowodnijmy to, odnosząc się bezpośrednio do Gaussów! Biorąc t ≥ 2 liczbę całkowitą,∑iaiXi ±1 Xi σ=∥a∥2 t≥2
źródło
źródło