Jaka jest najgorsza złożoność sita z polem liczbowym?

12

Biorąc kompozytu Pole numeru sita ogólnie najlepiej znane algorytm faktoryzacji całkowitymi faktoryzacji N . Jest to algorytm randomizowany i otrzymujemy oczekiwaną złożoność O ( e NNNdo współczynnikaN.O(e649(logN)13(loglogN)23)N

Szukałem informacji o złożoności najgorszych przypadków w tym randomizowanym algorytmie. Nie mogę jednak znaleźć informacji.

(1) Jaka jest najgorsza złożoność sita z polem liczbowym?

(2) Czy można tu również usunąć losowość, aby uzyskać deterministyczny algorytm subwykładniczy?


źródło

Odpowiedzi:

14

eO(22lognloglogn)

xx2(modn)nn

Nominalna złożoność najgorszego przypadku wszystkich tych algorytmów to nieskończoność: w przypadku sita kwadratowego i sita pola liczbowego zawsze możesz generować ten sam , podczas gdy w metodzie krzywej eliptycznej zawsze możesz generować tę samą krzywą eliptyczną . Jest na to wiele sposobów, na przykład równoległe uruchamianie algorytmu wykładniczego czasu.x

Yuval Filmus
źródło
1
Skoro poruszył ECM też: wiemy, że subexp randomizowane algorytm do obliczania w razem używając ECM gdzie jest nieznany i randomizacji. Czy masz szacunkową liczbę prób tego algorytmu, aby uzyskać i gdzie ? n!rO(exp(logn))rn!rn!s(r,s)=1
1
Nie mam pojęcia, czym jest , ale ogólnie mówiąc, wybierając parametry w ECM, balansujemy między prawdopodobieństwem że krzywa jest wystarczająco gładka, a czasem pracy wymaganym do przetestowania każdej krzywej. Zwykle punkt równowagi występuje, gdy .Tak więc oczekiwana liczba prób powinna wynosić . n!rpT1/pTO(explogn)
Yuval Filmus,
n!jest silnia . Problemem otwartym jest uzyskanie złożoności silni prostej. Wiemy, jak obliczyć gdzie jest nieznane w czasie podwyrażenia. Jeśli znamy dwa różne i , możemy uzyskaćw czasie podwyrazu, jeśli . nn!rrn!rn!s(n!r,n!s)=n!(r,s)=1
Pamiętam, jak obliczałem jakiś czas temu. Nie sądzę, żebym mógł poprawić, ponieważ nastąpił haczyk i nie pamiętam szczegółów.
ostatni akapit wydaje się dziwny i można go wyjaśnić więcej. czy mówisz o scenariuszu, w którym RNG jest „zepsuty” w tym sensie, że nie próbkuje całej przestrzeni dystrybucyjnej? ale czy równoległość nie pomogłaby w tym? ponieważ byłby to ten sam „zepsuty” RNG równolegle? czy jest to pomysł, że będzie to inny równoległy RNG? w rzeczywistości równoległa złożoność algorytmów faktoringowych to tak naprawdę zupełnie inny złożony temat, np. niektóre mogą być lepiej zrównoleglone niż inne, big-O może nie mieć zastosowania itp.
vzn
6

W ciągu ostatnich kilku miesięcy wersja sita z polem liczbowym została poddana dokładnej analizie: http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

Zasadniczo najgorszym czasem działania jest bezwarunkowo i pod GRH. Nie dotyczy to „klasycznego” sita pola liczbowego, ale nieco zmodyfikowanej wersji, która losuje więcej kroków, aby ułatwić analizę złożoności.Ln(1/3,2.77)Ln(1/3,(64/9)1/3)

Uważam, że odpowiedni artykuł jest nadal w trakcie przeglądu.

Aktualizacja: papier jest teraz niedostępny. Jonathan D. Lee i Ramarathnam Venkatesan, „Rygorystyczna analiza losowego sita pola liczbowego”, Journal of Number Theory 187 (2018), s. 92-159, doi: 10.1016 / j.jnt.2017.10.019

djao
źródło
1
Czy możesz podać pełniejsze odniesienie, w którym możemy dowiedzieć się więcej, z tytułem, autorem i miejscem publikacji, aby odpowiedź była nadal przydatna, nawet jeśli link przestanie działać?
DW
Ponieważ wynik został ogłoszony dopiero niedawno, uważam, że jest on obecnie poddawany przeglądowi, jak wskazano w mojej odpowiedzi, a zatem nie został jeszcze opublikowany. Zaktualizuję swoją odpowiedź w przyszłości, gdy będą dostępne informacje o publikacji.
djao
FWIW nie wygląda na to na arxiv.org. Jednak autorem jest Ramarathnam Venkatesan, który może pomóc w przyszłych poszukiwaniach, jeśli będą konieczne.
Peter Taylor,
W rzeczywistości jest to dzieło dwóch autorów (JD Lee i R. Venkatesan): cmi.ac.in/activities/…
Sary