Ostatnie pytanie za pytaniem, czy Huck Bennett PH klasa została zawarta w PP klasy, otrzymał nieco sprzecznych odpowiedzi (wszystko prawda, wydaje się). Z jednej strony podano przeciwnie kilka wyników wyroczni, z drugiej Scott zasugerował, że odpowiedź jest prawdopodobnie pozytywna, ponieważ twierdzenie Tody pokazuje, że PH jest w BP.PP, wariancie probabilistycznym PP, i zazwyczaj uważamy, że randomizacja niewiele pomaga, np. rozsądne założenia dotyczące twardości implikują PRG, które mogą zastąpić randomizację.
Teraz, w przypadku PP, nie jest oczywiste, że nawet „idealny” PRG pociągnie za sobą całkowitą derandomizację, ponieważ naturalna derandomizacja uruchomiłaby oryginalny algorytm z wyjściem PRG dla wszystkich wielomianowo wielu możliwych nasion i uzyskała większość głosów . Nie jest jasne, czy przejęcie tej większości głosów w obliczeniach PP jest czymś, co można zrobić w samym PP. Jednak artykuł Fortnow i Reingold pokazuje, że PP jest zamykany w ramach redukcji tabeli prawdy (przedłużając zaskakujący wynik, że PP jest zamykany na skrzyżowaniu), co wydaje się wystarczające do podjęcia tej większości głosów.
Więc jakie jest tutaj pytanie? Toda, Fortnow-Reingold i wszystkie derandomizacje oparte na PRG wydają się relatywizować, więc sugerowałoby, że PH w PP dla każdej wyroczni, dla której istnieją odpowiednie PRG. Tak więc dla wszystkich wyroczni, pod którymi PP nie zawiera PH (np. Od Minski & Papert, Beigel lub Vereshchagin ), PRG dla PP nie istnieją. W szczególności oznacza to, że dla tych wyroczni nie ma odpowiednio trudnych funkcji w EXP (w przeciwnym razie istniałyby PRG podobne do NW-IW). Patrząc na stronę pozytywną, oznaczałoby to, że gdzieś w każdym z tych wyników wyroczni kryje się (nierównomierny) algorytm PP dla (przybliżenia) EXP z tą wyrocznią. To dziwne, ponieważ wszystkie te wyrocznie wydają się polegać na nowych dolnych granicach PP(dla obwodów progowych) i mają prostą maszynę do budowania wyroczni, więc nie widzę, gdzie kryje się górna granica dla PP. Być może ta górna granica działałaby ogólnie, pokazując, że (nierównomierny) -PP może obliczyć (lub przynajmniej dać pewne odchylenie) wszystkim EXP? Czy coś takiego nie dałoby przynajmniej symulacji CH EXP?
Przypuszczam więc, że moje pytanie jest dwojakie: (1) czy ten łańcuch rozumowania ma sens? (2) Jeśli tak, to czy ktoś może „odkryć” implikowane górne granice PP?
Edytuj przez Aaron Sterling: podbicie tego na pierwszej stronie i dodanie nagrody. To było jedno z moich ulubionych pytań i wciąż nie ma na nie odpowiedzi.
Odpowiedzi:
Dzięki pracy Klivansa i van Melkebeeka (który relatywizuje), jeśli E = DTIME ( ) nie ma obwodów z bramkami PP wielkości wówczas PH jest w PP. Przeciwnie, mówi się, że jeśli PH nie jest w PP, wówczas E ma obwody podwykładnicze z bramkami PP. Jest to zgodne z faktem, że dowód na wyrocznię dla PH nie w PP daje relatywną dolną granicę dla PP. Nie ma powodu, aby sądzić, że implikuje to górną granicę dla PP lub jakąkolwiek siłę dla obwodów bez bram PP. 2 o ( n )2O(n) 2o(n)
źródło