Typy zależne od typu kodowanego przez Kościół w PTS / CoC

Eksperymentuję z systemami czystego typu w sześcianie lambda Barendregta, a konkretnie z najsilniejszym z nich, Rachunkiem Konstrukcji. Ten system ma rodzaje *i BOX. Dla przypomnienia, poniżej używam konkretnej składni Mortenarzędzia https://github.com/Gabriel439/Haskell-Morte-Library, która jest zbliżona do klasycznego rachunku lambda.

Widzę, że możemy emulować typy indukcyjne za pomocą pewnego rodzaju kodowania podobnego do Kościoła (znanego również jako izomorfizm Boehm-Berarducci dla algebraicznych typów danych). Dla prostego przykładu używam typu Bool = ∀(t : *) -> t -> t -> tz konstruktorami True = λ(t : *) -> λ(x : t) -> λ(y : t) -> xi False = λ(t : *) -> λ(x : t) -> λ(y : t) -> y.

Widzę, że typ funkcji na poziomie terminu Bool -> Tjest izomorficzny w stosunku do par typu Product T To klasycznej Product = λ(A : *) -> λ(B : *) -> ∀(t : *) -> (A -> B -> t) -> tparametryczności modularnej za pomocą funkcji, if : Bool -> λ(t : *) -> t -> t -> tktóra w rzeczywistości jest identyczna.

Wszystkie poniższe pytania dotyczą reprezentacji typów zależnych Bool -> *.

1. Mogę podzielić D : Bool -> *na parę D Truei D False. Czy istnieje kanoniczny sposób na Dponowne utworzenie ? Chcę odtworzyć izomoszmizm Bool -> T = Product T Tprzez analog funkcji ifna poziomie typu, ale nie mogę napisać tej funkcji tak prostej jak oryginał, ifponieważ nie możemy przekazywać rodzajów w argumentach takich jak typy.

2. Używam rodzaju indukcyjnego z dwoma konstruktorami do rozwiązania pytania (1). Opis wysokiego poziomu (w stylu Agda) to następujący typ (używany zamiast poziomu if)

   data BoolDep (T : *) (F : *) : Bool -> * where
     DepTrue : T -> BoolDep T F True
     DepFalse : F -> BoolDep T F False
   

   z następującym kodowaniem w PTS / CoC:

   λ(T : *) -> λ(F : *) -> λ(bool : Bool ) ->
   ∀(P : Bool -> *) ->
   ∀(DepTrue : T -> P True ) ->
   ∀(DepFalse : F -> P False ) ->
   P bool
   

   Czy moje kodowanie powyżej jest prawidłowe?

3. Mogę zapisać konstruktory dla BoolDeptakiego kodu dla DepTrue : ∀(T : *) -> ∀(F : *) -> T -> BoolDep T F True:

   λ(T : *) ->  λ(F : *) ->  λ(arg : T ) ->
   λ(P : Bool -> *) ->
   λ(DepTrue : T -> P True ) ->
   λ(DepFalse : F -> P False ) ->
   DepTrue arg
   

ale nie mogę zapisać funkcji odwrotnej (ani żadnej funkcji w kierunku odwrotnym). Czy to możliwe? Czy powinienem użyć innej reprezentacji BoolDepdo wytworzenia izomorfizmu BoolDep T F True = T?

Nie możesz tego zrobić za pomocą tradycyjnego kodowania Kościoła dla Bool:

#Bool = ∀(Bool : *) → ∀(True : Bool) → ∀(False : Bool) → Bool

... ponieważ nie możesz napisać (przydatnej) funkcji typu:

#Bool → *

Powodem, dla którego, jak zauważyłeś, jest to, że nie możesz podać *pierwszego argumentu #Bool, co z kolei oznacza, że argumenty Truei Falsemogą nie być typami.

Istnieją co najmniej trzy sposoby rozwiązania tego problemu:

1. Użyj rachunku konstrukcji indukcyjnych. Następnie możesz uogólnić typ #Boolna:

   #Bool = ∀(n : Nat) → ∀(Bool : *ₙ) → ∀(True : Bool) → ∀(False : Bool) → Bool
   

   ... a potem będzie instancję ndo 1, co oznacza, że może przejść w *₀jako drugi argument, który typu check, ponieważ:

   *₀ : *₁
   

   ... więc możesz użyć #Booljednego z dwóch typów.

2. Dodaj jeszcze jeden rodzaj:

   * : □ : △
   

   Następnie zdefiniowałbyś osobny #Bool₂typ taki jak ten:

   #Bool₂ = ∀(Bool : □) → ∀(True : Bool) → ∀(False : Bool) → Bool
   

   Jest to zasadniczo szczególny przypadek rachunku konstrukcji indukcyjnych, ale produkuje mniej kodu wielokrotnego użytku, ponieważ teraz musimy zachować dwie oddzielne definicje #Bool, po jednej dla każdego rodzaju, który chcemy wspierać.

3. Koduj #Bool₂bezpośrednio w rachunku konstrukcji jako:

   #Bool₂ = ∀(True : *) → ∀(False : *) → *
   

Jeśli celem jest użycie tego bezpośrednio w niezmodyfikowanym mortestanie, zadziała tylko podejście nr 3.