Statystyczna odległość między monetą jednolitą a stronniczą

Pozwolić $U$ być równomiernym rozkładem $n$ bitów i pozwól $D$ być dystrybucją $n$ bity, w których bity są niezależne, a każdy bit jest $1$ z prawdopodobieństwem $1/2-\epsilon$. Czy to prawda, że ​​statystyczna odległość między$D$ i $U$ jest $\Omega(\epsilon \sqrt{n})$, kiedy $n \le 1/\epsilon^2$?

Oznacz losowe bity przez $x_1,\dots, x_n$. Z definicji statystyczna odległość między$U$ i $D$ jest przynajmniej $\Pr_U\left(\sum x_i \geq t\right) - \Pr_D\left(\sum x_i \geq t\right)$dla każdego . Wybieramy .$t$$t = n/2 + \sqrt{n}$

Zauważ, że dla jakiejś bezwzględnej stałej . Jeśli , to statystyczna odległość wynosi co najmniej i gotowe. Zakładamy więc, że .$\Pr_U\left(\sum x_i \geq t\right) \geq c_1$$c_1 > 0$$\Pr_D\left(\sum x_i \geq t\right) \leq c_1/2$$c_1/2$$\Pr_D\left(\sum x_i \geq t\right) \geq c_1/2$

Niech dla iid zmiennych losowych Bernoulliego z . Naszym celem jest udowodnienie, że . Według twierdzenia o wartości średniej, dla niektórych . Teraz udowodnimy, że ; oznacza to, że pożądana statystyczna odległość wynosi co najmniej , zgodnie z wymaganiami.$f(s) = \Pr\left(\sum x_i \geq t\right)$$x_1,\dots, x_n$$\Pr(x_i = 1) = 1/2-s$$f(0) - f(\varepsilon) = \Omega(\varepsilon \sqrt{n})$

$$f(0) - f(\varepsilon) = -\varepsilon f'(\xi),$$ $\xi \in (0, \varepsilon)$$-f'(\xi) \geq \Omega(\sqrt{n})$$\Omega(\sqrt{n} \varepsilon)$

Zapis, i Uwaga: A zatem,

$$f(\xi) = \sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(\frac12 - \xi\right)^k \left(\frac12+\xi\right)^{n-k},$$ $$\begin{align} f'(\xi) &= \sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(-k \left(\frac12 - \xi\right)^{k-1} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k} + (n-k) \left(\frac12 - \xi\right)^{k} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k-1}\right) \\ &= -\sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(\frac12 - \xi\right)^{k} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k}\frac{k/2 + k\xi - (n-k)/2 + (n-k)\xi}{(1/2 - \xi)(1/2 +\xi)}. \end{align}$$ $$\frac{k/2 + k\xi - (n-k)/2 + (n-k)\xi}{\left(1/2 - \xi\right)\left(1/2 +\xi\right)} = \frac{(2k-n)/2 + n\xi}{(1/2 - \xi)(1/2 +\xi)} \geq 2(2t - n) = 4\sqrt{n}.$$ $$\begin{align}-f'(\xi) &\geq 4\sqrt{n} \sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(\frac12 - \xi\right)^{k} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k} \\&= 4\sqrt{n} f(\xi) \geq 4\sqrt{n} f(\varepsilon) \geq 4\sqrt{n}\cdot (c_1/2).\end{align}$$ tym miejscu założenie, że . Pokazaliśmy, że .$f(\varepsilon) = \Pr_D(x_1+\dots+x_n \geq t) \geq c_1/2$$-f'(\xi) = \Omega(\sqrt{n})$

Nieco bardziej elementarny i nieco niechlujny dowód (a przynajmniej tak mi się wydaje).

Dla wygody napisz , z założeniem .$\varepsilon = \frac{\gamma}{\sqrt{n}}$$\gamma\in [0,1)$

Wyraźnie dolną granicę wyrażenia : $\operatorname{d}_{\rm TV}{(P,U)}$

$$\begin{align*} 2\operatorname{d}_{\rm TV}{(P,U)} &= \sum_{x\in\{0,1\}^n} \left\lvert{ \left( \frac{1}{2} + \frac{\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{\lvert{x}\rvert}\left( \frac{1}{2} - \frac{\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-\lvert{x}\rvert} - \frac{1}{2^n} }\right\rvert \\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left\lvert{ \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} - 1 }\right\rvert \\ &\geq \frac{1}{2^n}\sum_{k=\frac{n}{2}+\sqrt{n}}^{\frac{n}{2}+2\sqrt{n}} \binom{n}{k}\left\lvert{ \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} - 1 }\right\rvert \\ &\geq \frac{C}{\sqrt{n}}\sum_{k=\frac{n}{2}+\sqrt{n}}^{\frac{n}{2}+2\sqrt{n}} \left\lvert{ \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} - 1 } \right\rvert \end{align*}$$ gdzie jest stałą bezwzględną. Obniżamy każdą granicę osobno: naprawiamy i piszemy , tak aby każdy summand był niżej ograniczony wielkością zbieżną (kiedy ) do$C>0$$k$$\ell = k-\frac{n}{2} \in [\sqrt{n},2\sqrt{n}]$ $$\begin{align*} \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} &= \left( 1 - \frac{4\gamma ^2}{n} \right)^{n/2}\left( \frac{1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}{1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}\right)^\ell \\ &\geq \left( 1 - \frac{4\gamma ^2}{n} \right)^{n/2}\left( \frac{1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}{1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}\right)^{\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{4\gamma -2\gamma ^2} \end{align*}$$ $n\to \infty$$e^{4\gamma -2\gamma ^2}-1 > 4\gamma -2\gamma ^2 > 2\gamma$ ; sugerując, że każdy to . Podsumowując, daje to jak twierdzono.$\Omega(\gamma )$ $$\begin{align*} 2\operatorname{d}_{\rm TV}{(P,U)} &\geq \frac{C}{\sqrt{n}}\sum_{k=\frac{n}{2}+\sqrt{n}}^{\frac{n}{2}+2\sqrt{n}} \Omega(\gamma ) = \Omega(\gamma) = \Omega(\varepsilon\sqrt{n}) \end{align*}$$