Zwykle buduje się wykres, a następnie zadaje pytania o rozkład macierzy przylegania (lub niektórych bliskich krewnych, takich jak Laplacian ), rozkład wartości własnych (zwany także widmami wykresu ).
Ale co z problemem odwrotnym? Biorąc pod uwagę wartości własne, można (efektywnie) znajduje się wykres, który ma tę widma?
Podejrzewam, że ogólnie jest to trudne do zrobienia (i może być równoważne z GI), ale co, jeśli nieco złagodzisz niektóre warunki? Co się stanie, jeśli stworzysz warunki, że nie ma wielu wartości własnych? Co powiesz na zezwolenie na wykresy, które mają „bliskie” widma według niektórych wskaźników odległości?
Wszelkie referencje lub pomysły byłyby mile widziane.
EDYCJA :
Jak zauważa Suresh, jeśli zezwolisz na niekierowane ważone wykresy za pomocą pętli własnych, problem ten stanie się dość trywialny. Miałem nadzieję uzyskać odpowiedzi na zbiorze prostych, nieważonych prostych wykresów, ale byłbym również zadowolony z prostych nieważonych prostych wykresów.
źródło
Odpowiedzi:
Cvetcovic i wszystko w rozdziale 3.3 „Ostatnie wyniki w teorii grafów widm” podchodzi algorytmów konstruowania grafy danego widma w niektórych szczególnych przypadkach
źródło
Trudne jest nawet pytanie, czy istnieje wykres z danym spektrum. Świadczy o tym otwarty problem określania, czy istnieje wykres obwodu 5 o średnicy 2 i rzędu 3250, którego widmo (jeśli istnieje) jest znane.
źródło
Inną przeszkodą w zdefiniowaniu pytania jest to, że są to wykresy izospektralne (te same wartości własne), ale grafy nieizomorficzne. Biorąc pod uwagę listę wartości własnych w takim przypadku, jaki wykres chcesz? Może po prostu chcesz, aby algorytm zwrócił jeden losowy element zestawu takich grafów nieizomorficznych?
źródło