Gdy weźmiemy pod uwagę algorytm aproksymacji dla problemu minimalizacji, luka integralności formuły IP dla tego problemu daje dolną granicę współczynnika aproksymacji dla pewnej klasy algorytmów (takich jak algorytm zaokrąglania lub pierwotny podwójny). W rzeczywistości istnieje wiele problemów, których najlepszy współczynnik aproksymacji odpowiada luce integralności.
Niektóre algorytmy mogą mieć lepszy współczynnik aproksymacji niż luka integralności dla jakiegoś problemu, ale nie wiem, czy taki przykład istnieje, czy nie. Jeśli odpowiedź brzmi tak, czy możesz podać kilka przykładów?
Wiem, że niektóre problemy dopuszczają wiele formuł matematycznych. W takich przypadkach rozważ formułę matematyczną z najmniejszą luką integralności, o ile można ją rozwiązać w czasie wielomianowym (być może niektóre formulacje mogą używać wyroczni rozdzielających).
To pytanie dotyczy [pytania: Znaczenie luki w integralności] .
Odpowiedzi:
Jak wskazano, istnieje wiele przykładów.
Klasycznym przykładem jest maksymalne dopasowanie, w którym relaksacja „naturalna” (bez ograniczeń nieparzystych) ma przerwę 2, podczas gdy istnieje oczywiście wydajny algorytm. Ten nie kwalifikuje się jednak w pełni, ponieważ istnieje wykładniczy rozmiar LP, który można rozwiązać za pomocą elipsoidy.
Intrygującą jest pojemna lokalizacja obiektu. Tutaj naturalny relaks ma nieograniczoną lukę integralności. Jednak lokalne algorytmy wyszukiwania dają stałe przybliżenia współczynników.
Innym bardzo interesującym (choć jest to problem maksymalizacji) jest ten artykuł: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Tutaj LP ma dużą lukę, a jednak algorytm, który używa tego LP, może zrobić lepiej.
źródło
Istnieją różne przykłady, w których relaksacja programowania półfinałowego pozwala na aproksymację przewyższającą znane luki integralności dla relaksacji programowania liniowego.
Na przykład standardowe rozluźnienie programowania liniowego maksymalnego cięcia ma lukę integralności równą 1/2, i jest to prawdą nawet w przypadku znacznie bardziej wyrafinowanych rozluźnień programowania liniowego (por. De la Vega-Kenyon i Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani), ale Goemans Algorytm Williamson SDP ma przybliżenie. 878 ...
Relaksacja programowania liniowego Leighton-Rao dla najrzadszego cięcia ma lukę integralności , ale algorytm Arora-Rao-Vazirani SDP ma aproksymację .Ω ( logn ) O ( logn----√)
Być może mniej znane, Karloff i Zwick pokazują, że za pomocą SDP można uzyskać przybliżenie Max 3SAT, w wersji, w której klauzule mogą mieć 1, 2 lub 3 literały, w granicach 7/8, podczas gdy Goemans i Williamson badali relaksację programowania liniowego, którą oni używane do udowodnienia przybliżenia 3/4 (Yannakakis wcześniej podał przybliżenie 3/4 innymi metodami), a relaksacja LP Goemansa-Williamsona dla Max 3SAT jest łatwa do zauważenia, że ma lukę integralności 3/4.
źródło
Jest także wynik Granta w rozwiązywaniu układów liniowych za pomocą GF_2. W przypadku układów równań z dobrym rozwiązaniem masz lukę integralności SDP (w bardzo silnej formie) wynoszącą 2, podczas gdy możesz użyć Eliminacji Gaussa, aby dokładnie rozwiązać problem.
źródło