Twierdzenie Banacha o punkcie stałym mówi, że jeśli mamy niepustą pełną przestrzeń metryczną , wówczas każda jednorodnie kurcząca się funkcja ma unikalny punkt stały . Jednak dowód tego twierdzenia wymaga aksjomatu wyboru - musimy wybrać dowolny element aby rozpocząć iterację , aby uzyskać sekwencję Cauchyego . μ ( f ) a ∈ A f a , f ( a ) , f 2 ( a ) , f 3 ( a ) , …
- Jak sformułowane są twierdzenia o punkcie stałym w analizie konstruktywnej?
- Czy są też jakieś zwięzłe odniesienia do konstruktywnych przestrzeni metrycznych?
Pytam dlatego, że chcę skonstruować model Systemu F, w którym typy dodatkowo niosą między innymi strukturę metryczną. Przydatne jest to, że w konstruktywnej teorii zbiorów możemy ugotować rodzinę zbiorów , tak że jest zamknięte pod produktami, wykładnikami i rodzinami z indeksem , co ułatwia podanie modelu Systemu F.U U
Byłoby bardzo miło, gdybym mógł przygotować podobną rodzinę konstrukcyjnych przestrzeni ultradźwiękowych. Ale ponieważ dodanie wyboru do konstruktywnej teorii zbiorów czyni ją klasyczną, oczywiście muszę bardziej uważać na twierdzenia o punkcie stałym i prawdopodobnie także inne rzeczy.
źródło
Odpowiedzi:
Aksjomat wyboru jest używany, gdy istnieje zbiór „rzeczy” i wybierasz jeden element dla każdej „rzeczy”. Jeśli w kolekcji jest tylko jedna rzecz, to nie jest to aksjomat wyboru. W naszym przypadku mamy tylko jedną przestrzeń metryczną i „wybieramy” w niej punkt. Więc nie jest to aksjomat wyboru, ale eliminacji kwantyfikatorów egzystencjalnych, czyli mamy hipotezę i mówimy „niech x ∈ A będzie takie, że ϕ ( x ) ”. Niestety ludzie często mówią „∃x∈A.ϕ(x) x∈A ϕ(x) x∈A ”, który następnie wygląda jak zastosowanie wybranego aksjomatu.ϕ(x)
Dla porównania, tutaj jest konstruktywny dowód twierdzenia Banacha o punkcie stałym.
Twierdzenie: Skurcz na zamieszkanej pełnej przestrzeni metrycznej ma unikalny punkt stały.
Dowód. Załóżmy, że jest zamieszkaną pełną przestrzenią metryczną, a f : M → M jest skurczem. Ponieważ f ma skurcz istnieje α takie, że 0 < α < 1 , a d ( f ( x ) , F ( y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , y ) dla każdego X , Y ∈ M(M,d) f:M→M f α 0<α<1 re( f( x ) , f( y) ) ≤ α ⋅ d( x , y) x , y∈ M. .
Załóżmy, że i v są stałym punktem f . Mamy zatem d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ), z którego wynika, że 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) ≤u v fa
Pozostaje udowodnić istnienie stałego punktu. Ze względu zamieszkuje istnieje x 0 ∈ M . Zdefiniuj sekwencję ( x i ) rekurencyjnie przez x i + 1 = f ( x i ) . Możemy udowodnić przez indukcję, że d ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) . Z tego wynika, żeM. x0∈ M. ( xja)
Uwagi:
Uważałem, aby nie powiedzieć „wybierz ” i „wybierz x 0 ”. Często mówi się takie rzeczy, a one tylko zwiększają zamieszanie, które uniemożliwia zwykłym matematykom stwierdzenie, co jest, a co nie jest aksjomatem wyboru.α x0
W części dowodowej dotyczącej wyjątkowości ludzie często niepotrzebnie zakładają, że istnieją dwa różne punkty stałe i dochodzą do sprzeczności. W ten sposób udało im się tylko udowodnić, że jeśli i v są stałymi punktami f, to ¬ ¬ ( u = v ) . Więc teraz potrzebują wykluczonego środkowego, aby dostać się do u = v . Nawet w przypadku matematyki klasycznej jest to nieoptymalne i pokazuje tylko, że autor dowodu nie przestrzega dobrej logicznej higieny.u v fa ¬ ¬ ( u = v ) u = v
Wreszcie następujące twierdzenia o stałym punkcie mają konstruktywne wersje:
To więcej informacji, niż prosiłeś.
źródło