Pijane ptaki kontra pijane mrówki: losowe spacery między dwoma a trzema wymiarami

Powszechnie wiadomo, że losowy spacer w dwuwymiarowej siatce powróci do początku z prawdopodobieństwem 1. Wiadomo również, że ten sam losowy spacer w TRZY wymiarach ma prawdopodobieństwo mniej niż 1 powrotu do początku .

Moje pytanie brzmi:

Czy jest coś pomiędzy? Załóżmy na przykład, że moja przestrzeń była w rzeczywistości ograniczonym obszarem płaszczyzny wyciągniętej do nieskończoności w kierunku Z. (co często nazywane jest 2,5 wymiarowym). Czy obowiązują wyniki dwuwymiarowe, czy trójwymiarowe?

Pojawiło się to w dyskusjach, a jednym heurystycznym argumentem mówiącym, że zachowuje się on dwuwymiarowo, jest to, że ponieważ obszar skończony płaszczyzny zostanie ostatecznie pokryty, jedyną nietrywialną częścią marszu jest promień jednowymiarowy wzdłuż kierunku Z, a więc powrót do źródła się wydarzy.

Czy istnieją inne kształty, które interpolują między obudową dwuwymiarową i trójwymiarową?

Aktualizacja (wyciągnięta z komentarzy): podobne pytanie zostało zadane na temat MO - krótkie podsumowanie jest takie, że jeśli spacer jest równy (2 + ϵ) wymiarowy, to niepewny powrót wynika luźno z rozbieżnej serii. Jednak powyższe pytanie różni się nieco od IMO, ponieważ pytam o inne kształty, które mogą pozwolić na pewien zwrot.

pr.probability random-walks markov-chains Suresh Venkat
źródło

Nie wiem wiele na ten temat, ale moja myśl pojawiła się w perkolacji! Co powiesz na losowy spacer po perkolacjach? Wydaje się być kandydatem do wyników ułamkowych wymiarów dla dowolnego .

n > 1

$n > 1$

w jakim sensie masz na myśli pomiędzy? Wydaje się, że nie ma wiele pomiędzy 1 a ściśle poniżej 1; więc czy chcesz, aby pośrednie były w odniesieniu do wymiaru przestrzeni? Innymi słowy, czy jakaś odpowiedź musi być spacerem po czymś o naturalnej mierze wymiaru?

Artem Kaznatcheev

Uwaga: podobne pytanie zostało zadane na MO: mathoverflow.net/questions/45098/... - krótkie podsumowanie jest takie, że jeśli spacer jest równy , wówczas niepewny powrót wynika luźno z rozbieżnej serii. Jednak powyższe pytanie jest nieco inne, ponieważ pytam o inne kształty, które mogą pozwolić na pewien zwrot.

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

Suresh Venkat

Losowe spacery po krzywych fraktalnych .

Aaron Sterling

Na ograniczonym obszarze płaszczyzny wytłacza się w nieskończoność wzdłuż -działający, mamy w zasadzie do czynienia z pogrubionej linii raczej niż tuczone płaszczyźnie; jako taki, oczekiwałbym, że zachowanie będzie bliższe przypadkowi jednowymiarowemu niż przypadkowi dwuwymiarowemu.

z

$z$

James King,

Odpowiedzi:

Prawdopodobieństwo występowania drzew i sieci według Peresa i Lyonu wspomina o tym w rozdziale 2 (strona 50):

Jednym ze sposobów, aby to zrozumieć, jest pytanie o rodzaj spacji pośrednich między i . Na przykład rozważ klin $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} := {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
gdzie jest funkcją rosnącą. Liczba krawędzi, które opuszczają jest rzędu , więc zgodnie z kryterium Nasha-Williamsa $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
jest wystarczający do ponownego wystąpienia.

Marcin Kotowski
źródło

jest to doskonała referencja i ma ogólną technikę określania, kiedy takie spacery się rozchodzą. Miły !

Suresh Venkat

3-D losowy spacer w przestrzeni 3x3x3 (jak kostka rubika) ma prawdopodobieństwo mniej niż jednego powrotu do początku, jeśli spacer zaczyna się na zewnątrz; ale przestrzeń 2x2x2 to jedna, podobnie jak przestrzeń 3x3x3 z punktem początkowym w środku. Wygląda więc na to, że istnieją pewne kształty pośrednie, ale może nie bardzo wiele.

Xpda
źródło

Ale toroid jest dwuwymiarowy. Nie wydaje mi się zaskakujące, że powróciłby do punktu wyjścia. Wygląda na specjalny przypadek 2D.

John Moeller

I ograniczony! Powrót do początku powinien być jeszcze łatwiejszy niż w samolocie.

Derrick Stolee,

Ups, masz rację. Zmienię go na inny kształt.

xpda,