Jaki jest „prawdziwy” powód, dla którego IP = PSPACE nie powoduje relatywizacji?

19

OcoNPOIPOcoNPOPSPACEOO

Jednak widziałem tylko kilka osób, które wyjaśniają „bezpośrednio”, dlaczego wynik nie jest relatywizowany, a typową odpowiedzią jest „arytmetyzacja”. Po sprawdzeniu dowodu IP = PSPACE ta odpowiedź nie jest fałszywa , ale nie jest dla mnie zadowalająca. Wydaje się, że „prawdziwy” powód sięga do dowodu, że problem TQBF - prawdziwie skwantyfikowana formuła boolowska - jest kompletny dla PSPACE; aby to udowodnić, musisz pokazać, że możesz zakodować konfiguracje maszyny PSPACE w formacie wielomianowym, a (wydaje się, że jest to część niezwiązana z relatywizacją) możesz zakodować „poprawne” przejścia między konfiguracjami w wielomianowym rozmiarze formuła boolowska - wykorzystuje krok w stylu Cooka-Levina.IP=PSPACE

Intuicja, którą opracowałem, polega na tym, że wyniki nierelatywistyczne to takie, które szukają drobiazgów w maszynach Turinga, a krok, w którym TQBF jest kompletny dla PSPACE, to miejsce, w którym dzieje się to szturchanie - i krok arytmetyczny może Stało się tak tylko dlatego, że miałeś wyraźną logiczną formułę do arytmetyki.

Wydaje mi się, że jest to podstawowy powód, dla którego IP = PSPACE nie ma charakteru relatywistycznego; a mantra folklorystyczna, której techniki arytmetyczne nie relatywizują, wydaje się być produktem ubocznym tego: jedynym sposobem na arytmetyzację jest posiadanie boolowskiej formuły, która koduje coś o bazach TM!

Czy czegoś brakuje? Jako podpytanie - czy to oznacza, że ​​wszystkie wyniki, które w jakiś sposób wykorzystują TQBF, również nie relatywizują?

Henry Yuen
źródło
4
Możesz uwzględnić wrota wyroczni w skwantyfikowanej formule boolowskiej, a następnie taki relatywny TQBF ^ O jest kompletny dla PSPACE ^ O, więc nie jest to krok niezwiązany z relatywizacją.
Emil Jeřábek wspiera Monikę
Cześć Emil - czy mógłbyś rozwinąć nieco więcej? Powiedzmy, że mam maszynę i próbuję przeprowadzić ten sam dowód, że L (M) (język akceptowany przez M) można zredukować do (cokolwiek oznacza). W końcu będę musiał opracować boolowską formułę, która wyraża, czy dwie konfiguracje C, C 'maszyny M Oracle są sąsiadami (dla dowolnych dwóch konfiguracji C, C'). Jak mogę zapewnić, niezależnie od wyroczni, że ta formuła boolowska ma skończony rozmiar, a co dopiero wielomian? Na przykład O może kodować problem zatrzymania. TBQ F O TBQ F OPSPACEOTBQFOTBQFO
Henry Yuen,
Wydaje mi się, że mógłbym to przesunąć jeszcze bardziej - czy samo twierdzenie Cooka-Levina relatywizuje się? Z tych samych powodów, o których mowa powyżej, nie sądzę, żeby tak było. To, czy twierdzenie Cooka-Levina relatywizuje, determinuje, czy dowód TQBF na kompletność PSPACE również się relatywizuje.
Henry Yuen,
4
Formuła QBF ^ O może, oprócz zwykłych kwantyfikatorów i łączników boolowskich, również używać nowej nieograniczonej bramki wachlarza, nazwijmy ją , której semantyką jest f ( x 0 , , x n ) = 1, wtedy i tylko wtedy ciągu x 0 ... x n należy do oracle o . Wyrażenie w tym języku, że jedna konfiguracja jest następcą innej, jest prostym ćwiczeniem, ponieważ można po prostu podłączyć zawartość taśmy zapytania Oracle do ff(x0,,xn)fa(x0,,xn)=1x0xnOfa. (Zakładam tutaj, że maszyna PSPACE może wykonywać zapytania wielomianowo długie).
Emil Jeřábek obsługuje Monikę
Rozumiem - mówisz, że relatywizując dowód kompletności TQBF PSPACE, nie tylko relatywizujesz maszyny w grze, ale także relatywizujesz same formuły boolowskie (więc nie są to już formuły boolowskie w ścisłym tego słowa znaczeniu) ). W takim przypadku widzę, dlaczego krok arytmetyczny miał się załamać. Dzięki! Być może możesz napisać to jako odpowiedź.
Henry Yuen,

Odpowiedzi:

13

Każda odpowiedź na pytanie o formę „Jaki jest prawdziwy powód, dla którego…” niekoniecznie musi być nieco subiektywna. Jednak w przypadku szczególnego przypadku IP = PSPACE uważam, że można dość dobrze argumentować, że arytmetyzacja jest rzeczywiście kluczem, obserwując, że chociaż IP = PSPACE nie relatywizuje się , to robi algebry w rozumieniu Aaronsona i Wigdersona . Jak wyjaśniają w swoim artykule, z grubsza rzecz biorąc, włączenie klasa złożoności algebrizes jeśli CD ~ dla wszystkich wyrocznie A i wszystkie rozszerzenia niskich stopni ~ A zdore doZAreZA~ZAZA~. W szczególności pokazują, że włączenie PSPACE IP algebryzy, nawet jeśli nie relatywizuje.ZA

Intuicja, którą opracowałem, polega na tym, że nierelatywistyczne wyniki to takie, które szarpią się z podstępną precyzją maszyn Turinga

Nie jest to zła intuicja, ale myślę, że wynik Aaronsona-Wigdersona pokazuje, że dowód IP = PSPACE jest dość ograniczony, a na pewno nie w wystarczająco wyrafinowany sposób, aby udowodnić P NP, ponieważ Aaronson i Wigderson również wykazać, że do oddzielenia P od NP konieczne będą techniki niegebergezyjne.

Timothy Chow
źródło
1
Dzięki za referencje. Pozwól mi zobaczyć, czy mogę to zrozumieć: co ty - a papier Aaronson / Wigderson - zdają się twierdzić, że „arithmetization” jest słabo non-relatywizacji krok, a maleńkim, naturalne zmiany w pojęciu relatywizacji (mianowicie, algebraiczna relatywizacja) złamie tę właściwość. Ponieważ reszta dowodu IP = PSPACE jest relatywizacyjna (i przekonuje mnie to, co powiedział Emil powyżej), oznacza to, że sam wynik IP = PSPACE jest bardzo słabo relatywistyczny, co powiedziałeś. Bardzo interesujące! Dzięki. Potrzebuję sposobu na zaakceptowanie obu odpowiedzi :)
Henry Yuen
Tak, to w zasadzie racja.
Timothy Chow