Warunek ścisłego wklęsłości Rosen

Rozważmy grę z graczy, z miejsca strategia S ⊂ R , gdzie S jest zbiór ograniczony i odtwarzacza í funkcji wypłat π I : S n → R . Warunek Rosen ( JB Rosen. Istnienie i wyjątkowość punktów równowagi dla wklęsłych gier n-person. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) dla wyjątkowości Nash Equilibrium w grze n graczy stwierdza, że ​​równowaga będzie wyjątkowa, gdy$n$$S \subset \mathbb{R}$$S$$i$$\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

1. funkcja wypłaty jest wklęsła we własnej strategii$\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
2. Istnieje wektor ( ( ∀ i ∈ N ) ( z i ≥ 0 ) ∧ ( ∃ i ∈ N ) ( z i > 0 ) taki, że funkcja σ ( s , z ) = ∑ n i = 1 z i π i ( s ) jest ukośnie wklęsły$\textbf{z}$$(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$$\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

oznacza zbiór graczy.$N$

Aby zdefiniować pojęcie ścisłej wklęsłości diagonalnej, najpierw wprowadź „pseudogradient” funkcji , zdefiniowany za pomocą: g ( s , z ) = ( z 1 ∂ π 1 ( s$\sigma$ wtedy funkcjaσmówi sięukośnie ściśle dominującyws∈Sna stałeZ≥0, gdy dla każdegos0,y1∈Szachodzi: (e1-s0)'g(y0,z)+(s0-s1)′g(s1

$$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$$ $\sigma$$\mathbf{s} \in S$$\mathbf{z} \geq 0$$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$ $$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$$

$\sigma$$\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$$\mathbf{s} \in S$$G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$$g$$\mathbf{s}$

$\sigma(s,z)$$\sigma$$g(s,z)$

$\sigma$