Warunek transwersalności w neoklasycznym modelu wzrostu

W neoklasycznym modelu wzrostu występuje następujący warunek poprzeczności:

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ gdzie jest stolicą w okresie .$k_{t+1}$$t$

Moje pytania to:

1. Jak czerpiemy ten warunek?

2. Dlaczego tego wymagamy, jeśli chcemy wykluczyć ścieżki bez kumulacji długu?

3. Dlaczego mnożniki Lagrange stanowią bieżącą zdyskontowaną wartość kapitału?$\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$

Warunek poprzeczności można łatwiej zrozumieć, jeśli zaczniemy od problemu ze skończonym horyzontem.

W standardowej wersji naszym celem jest

$$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$$ z zastrzeżeniem $$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$$ z $k_0$dany. Powiązany Lagrangian (z mnożnikami$\lambda_t$, $\mu_t$, i $\omega_t$) jest $$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$$ FOC są $$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$$ z uzupełniającymi warunkami luzu Kuhna-Tuckera: dla $t=0,\dots,T$, $$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$$ Ponieważ ograniczenie zasobów musi obowiązywać we wszystkich okresach, tj $\lambda_t>0$ dla wszystkich $t$wynika z tego w ostatnim okresie $T$, $\omega_T=\lambda_T>0$, co z kolei implikuje $k_{T+1}=0$.

Zwykle zakładamy $c_t>0$ dla wszystkich $t$ (warunek Inada), a to implikuje $\mu_t=0$ dla wszystkich $t$. Staje się więc FOC konsumpcji

$$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$$

Patrząc na warunki $(1)$ $(2)$ i $(3)$ w ostatnim okresie $T$rozumiemy

$$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ Rozszerzając to na nieskończony horyzont, otrzymujemy warunek poprzeczności $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

Intuicja warunku poprzeczności jest częściowo taka, że ​​„nie ma oszczędności w ostatnim okresie”. Ponieważ jednak nie ma „ostatniego okresu” w środowisku nieskończonego horyzontu, ograniczamy czas, gdy czas zmierza w nieskończoność.

Moim zdaniem najlepszą pochodną jest logika. Pomyśl o tym w ten sposób: jeśli jedyną rzeczą, którą mówimy gospodarstwu domowemu, jest maksymalizacja jego użyteczności, optymalnym zachowaniem byłoby po prostu zaciąganie nieskończonego długu i konsumpcja w nieskończoność. To nie jest rozsądne rozwiązanie. Potrzebujemy zatem innego warunku optymalności. To powinno odpowiedzieć na pytanie 2.

W ograniczonym horyzoncie czasowym wykonalność zostałaby osiągnięta poprzez spłatę zadłużenia do ostatniego okresu. Nie jest to możliwe w przypadku ustawienia nieskończonego horyzontu. Jednak „wykluczenie kumulacji długu”, jak sugerujesz, jest zbyt surowym warunkiem (warunek transwersalności dopuszcza dług!).

Aby odpowiedzieć na pytanie 3, spójrzmy na ten termin $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$. Oznacza (marginalny) przyrost użyteczności (w wartościach bieżących) przesunięcia$k_{t+1}$jednostki kapitału do okresu t i ich zużycie. Gdyby ten przyrost użyteczności był dodatni w nieskończoności, moglibyśmy zwiększyć ogólną użyteczność, konsumując więcej w „nieskończoności okresu”, dlatego nasza ścieżka kapitału nie byłaby optymalna.

Na pytanie 1: Aby wyprowadzić ten warunek, możesz albo przedstawić logiczny argument, który właśnie przedstawiłem, pokazując, że bez trzymania warunku przekrojowego ścieżka kapitału nie jest optymalna, lub, dla matematycznego dowodu, możesz sprawdzić, na przykład, Notatki Per Krusella (choć trudno to pojąć)