Zrozumienie budowy procesów stochastycznych

Widziałem procesy stochastyczne modelowane / konstruowane w następujący sposób.

Rozważmy przestrzeń prawdopodobieństwa i niech S będzie (mierzalną) transformacją S : Ω → Ω , której używamy do modelowania ewolucji punktu próbki ω w czasie. Niech X będzie również losowym wektorem X : Ω → R n . Następnie proces stochastyczny { x t : t = 0 , 1 , . . . $(\Omega, \mathcal F, Pr)$$\mathbb S$$\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$$\omega$$X$$X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$$\{ X_t: t=0,1,...\}$służy do modelowania sekwencji obserwacji za pomocą wzoru lub X t = X ∘ S t$X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$$X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Jak mam rozumieć punkty próbki i transformację S w tej konstrukcji? (Czy w niektórych przypadkach ω może być sekwencją wstrząsów?)$\omega \in \Omega$$\mathbb S$$\omega$

Aby uzyskać więcej konkretów, jak napisałbym te dwa procesy w tym zapisie?

Proces 1: gdzie X 0 = 0 .

$$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$$ $X_0 = 0$

Proces 2:

$$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$$

$S$

Dla porównania, oto zwykła definicja, powiedzmy dyskretnie, procesów:

$\{ X_t \}$$( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$$S$$S$$\Omega$$\mu_S$

$$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$$X \circ S$$\mathbb{R}^n$$S^t$$t$

$\omega$$( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$$X$$S$

$C[0, \infty)$$\omega$$\Omega$

$\Omega$$\mathcal{F}$$\sigma$$Pr$$Pr$

Odwołanie Ta charakterystyka / konstrukcja poprzez przesunięcie ściśle stacjonarnych szeregów czasowych jest wspomniana w Asymptotic Theory for Econometricians .

$\omega$

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

Pierwszy przykład to rozwinięcie pierwszego:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

Jak widzieliśmy, sama operacja S jest raczej niejednoznaczna i trudna do racjonalnej interpretacji. Należy jednak zauważyć, że określa miarę zachowującą transformację, a zrobienie zdjęcia pod nią tworzy zestaw z tą samą miarą. Tak więc ta funkcja dynamika pomiaru w naszej przestrzeni stanu w czasie.

$\mathbb{S}$$\omega$$X(\omega)$$\omega$$\mathbb{S}$$X$$\{X_t\}_{t=0}^\infty$